• 解题报告:luogu P2558


    题目链接:P2558 [AHOI2002]网络传输
    (dp) 入门题,结果调了一晚上,枯了。
    很显然 (x^{n+1}>sumlimits_{i=0}^n x^n),那么我们对于每个次方数,加上他前面的任意数的组合一定小于下一个次方数。
    容易得到:

    [f_{i}=f_{2^{leftlfloorlog_{2}i ight floor}}+f_{i-2^{leftlfloorlog_{2}i ight floor}} ]

    可以递推实现。
    然而我们发现最后的结果小于 (2^{50}) ,高精好麻烦啊!
    鉴于 (50) 比较小,我们尝试压位。
    把一个数定义成结构体形式:

    struct num
    {
    	ll a,b,c,d;
    };
    

    考虑到 (leftlceildfrac{50}{4} ight ceil=13)long long范围完全可以接受,于是把一个数分成四块。
    然后定义运算就好了:
    加法:

    num add(num x,num y)
    {
    	num z;
    	z.a=z.b=z.c=0;
    	z.a=y.a+x.a;
    	z.b=y.b+x.b;
    	z.c=y.c+x.c;
    	z.d=y.d+x.d;
    	return arrg(z);
    }
    

    这里的arrg函数是把不符合一块内最多 (13) 位的数整理成符合条件的数。
    可以这样写:

    #define MOD 10000000000000
    num arrg(num x)
    {
    	num z=x;
    	if(z.a>=MOD) z.b+=z.a/MOD,z.a%=MOD;
    	if(z.b>=MOD) z.c+=z.b/MOD,z.b%=MOD;
    	if(z.c>=MOD) z.d+=z.c/MOD,z.c%=MOD;
    	return z;
    }
    

    然后还有普通数乘分块数:

    num mul(num x,ll k)
    {
    	num z;
    	z.a=z.b=z.c=0;
    	z.a=x.a*k;
    	z.b=x.b*k;
    	z.c=x.c*k;
    	z.d=x.d*k;
    	return arrg(z);
    }
    

    这样,我们就减少了原要写高精的码量(bushi,输出打的我焦头烂额
    时间复杂度为 (mathcal O(p)),可以通过本题。
    完整代码如下:

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    #define ll long long  
    #define MOD 10000000000000
    
    struct num
    {
    	ll a,b,c,d;
    	//压13位 
    }ans[1030],mi[20];
    int n,p,cnt=0;
    
    num arrg(num x)
    {
    	num z=x;
    	if(z.a>=MOD) z.b+=z.a/MOD,z.a%=MOD;
    	if(z.b>=MOD) z.c+=z.b/MOD,z.b%=MOD;
    	if(z.c>=MOD) z.d+=z.c/MOD,z.c%=MOD;
    	return z;
    }
    
    num add(num x,num y)
    {
    	num z;
    	z.a=z.b=z.c=0;
    	z.a=y.a+x.a;
    	z.b=y.b+x.b;
    	z.c=y.c+x.c;
    	z.d=y.d+x.d;
    	return arrg(z);
    }
    
    num mul(num x,ll k)
    {
    	num z;
    	z.a=z.b=z.c=0;
    	z.a=x.a*k;
    	z.b=x.b*k;
    	z.c=x.c*k;
    	z.d=x.d*k;
    	return arrg(z);
    }
    
    int logx(int a,int b){return ceil(log(b)/log(a));}
    ll _pow(ll a,ll b){ll ans=1;for(int i=1;i<=b;i++) ans*=a;return ans;}
    
    
    int main()
    {
    	scanf("%d%d",&n,&p);
    	mi[0].a=1ll,mi[0].b=0,mi[0].c=0,mi[0].d=0;
    	ans[++cnt]=mi[0];
    	for(int i=1;i<=logx(2,p)+1;i++) mi[i]=mul(mi[i-1],(ll)n);
    	if(p==1){printf("1
    ");return 0;}
    	int k=1;
    	for(;;)
    	{
    		ans[++cnt]=mi[k++];
    		if(cnt>=p) break;
    		int now=cnt-1;
    		for(int j=1;j<=now&&cnt<=p;j++) ans[++cnt]=add(ans[now+1],ans[j]);
    		if(cnt>=p) break;
    	}
    	ans[p]=arrg(ans[p]);
    	if(ans[p].d!=0)
    	{
    		printf("%lld",ans[p].d);
    		for(int i=12;i>=0;i--)
    		{
    			ll g=_pow((ll)10,i);
    			printf("%d",(int)(ans[p].c/g));
    			ans[p].c%=g;
    		}
    		for(int i=12;i>=0;i--)
    		{
    			ll g=_pow((ll)10,i);
    			printf("%d",(int)(ans[p].b/g));
    			ans[p].b%=g;
    		}
    		for(int i=12;i>=0;i--)
    		{
    			ll g=_pow((ll)10,i);
    			printf("%d",(int)(ans[p].a/g));
    			ans[cnt].a%=g;
    		}
    	} 
    	else if(ans[p].c!=0)
    	{
    		printf("%lld",ans[p].c);
    		for(int i=12;i>=0;i--)
    		{
    			ll g=_pow((ll)10,i);
    			printf("%d",(int)(ans[p].b/g));
    			ans[p].b%=g;
    		}
    		for(int i=12;i>=0;i--)
    		{
    			ll g=_pow((ll)10,i);
    			printf("%d",(int)(ans[p].a/g));
    			ans[p].a%=g;
    		} 
    	}
    	else if(ans[p].b!=0)
    	{
    		printf("%lld",ans[p].b);
    		for(int i=12;i>=0;i--)
    		{
    			ll g=_pow((ll)10,i);
    			printf("%d",(int)(ans[p].a/g));
    			ans[p].a%=g;
    		}
    	}
    	else printf("%lld",ans[p].a);
    	putchar('
    ');
    	return 0;
    }
    

    开始我尝试把一个数分成 (3) 块,然而爆long long了,只好分成 (4) 块。

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