• POJ 1061青蛙的约会(扩展欧几里德)


    对欧几里德不太熟悉,参考了网上的一些讲解又学习了一下

    利用扩展欧几里德算法求线性方程的一般过程:
    a*x + b*y = m

    令a1 = a/gcd(a,b)
    b1 = b/gcd(a,b)
    m1 = m/gcd(a,b)

    a*x + b*y = m两边同除以m1
    a*x/m1 + b*y/m1 = m/m1 = gcd(a,b)
    设x1 = x/m1 ,y1 = y/m1 则原式变为a*x1 + b*y1 = gcd(a,b)
    若求出这个方程中的x1,y1,那么x = x1*m1, y = y1*m1。
    由欧几里德算法gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
    所以a*x1 + b*y1= gcd(a,b) = gcd(b,a%b) = b*x2 + (a%b)*y2
    令k = a/b(商) r = a%b(余数)
    得到a*x1 + b*y1 = b*x2 + (a-(a/b)*b)*y2 = a*y2 + b*(x2-(a/b)*y2)
    => x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2。

    所以扩展欧几里德就是在求a和b的最大公约数的同时,
    也将满足方程a*x1 + b*y1 = gcd(a,b)的一组x1和y1的值求了出来

    所以x, y的一组解就是x1*m1, y1*m1,,在实际的解题中一般都会去求解x或是y的最小正数的值。以求x为例,又该如何求解呢?还是从方程入手,现在的x,y已经满足a*x+b*y=m,那么a*(x+n*b)+b*(y-n*a)=m显然也是成立的。
    可以得出x+n*b(n=…,-2,-1,0,1,2,…)就是方程的所有x解的集合,由于每一个x都肯定有一个y和其对应,所以在求解x的时候可以不考虑y的取值。取k使得x+k*b>0,x的最小正数值就应该是(x+k*b)%b,但是这个值真的是最小的吗??
    如果我们将方程最有两边同时除以gcd(a,b),则方程变为a1*x+b1*y=m1,同上面的分析可知,此时的最小值应该为(x+k*b1)%b1,
    由于b1<=b,所以这个值一定会小于等于之前的值。在实际的求解过程中一般都是用while(x<0) x+=b1来使得为正的条件满足,为了更快的退出循环,可以将b1改为b(b是b1的倍数),并将b乘以一个倍数后再加到x上。

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <string>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    long long x, y, m, n, l;
    long long  gcd(long long  a, long long  b){  
     	if(b == 0) return a;
     	return gcd(b, a%b);
    }
    void exgcd( long long  a, long long  b, long long  &x, long long  &y ){
        if( b== 0 ){
            x= 1;
            y= 0;
            return;
        }
        exgcd( b, a% b, x, y );
        long long int t = x;
        x = y;
        y= t- a/ b* y;
        return;
    }
    int main(){
    	while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d", &x, &y, &m, &n, &l)){
    		if(m == n){  // 因为x!=y 所以如果m == n则永远不可能遇到 
    			printf("Impossible
    ");continue;
    		}
    		long long a = m - n;
    		long long b = -l;
    		long long c = y - x;
    		long long p, q;
    		long long d = gcd(a, b);  
    		if(c%d != 0){ 					 //ax+by = m 如果m不能整除gcd(a,b)则无解 
    			printf("Impossible
    ");continue;
    		}
    		long long a1, b1, c1, m1;
    		c1 = c/d; a1 = a/d; b1 = b/d;   //令a1 = a/gcd(a,b),b1 = b/gcd(a,b) m1 = m/gcd(a,b)
    		exgcd(a1,b1,p,q);
    		long long p1 = p*c1;           //这里p表示x 
    		long long ans = p1%b1;
    
    		while(ans < 0){
    			ans += b1;
    		}
    		printf("%I64d
    ",ans);
    	}
    
        return 0;
    }
    

      

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/titicia/p/3874345.html
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