用2d-tree数据结构实现在2维矩形区域内的高效的range search 和 nearest neighbor search。2d-tree有许多的应用，在天体分类、计算机动画、神经网络加速、数据挖掘、图像检索。
range search： 返回所有在query rectangle里的所有点
nearest neighbor search: 返回query point的最近点
下图显示这两种search操作
Geometric Primitives. 在assignment给定了几何图元应该如何表示，如下图
其中关于Point和Rectangle的表示已经定义在了Point2D.java和RectHV.java中，API都已经提供了，这个都不用自己实现。
Point2D的API主要是点的坐标、平方距离、欧几里得距离、点的比较、绘制等，
RectHV主要是一个2维的包围盒，记录矩形的左下角和右上角点的信息，主要API是contains(Point2D)判断点是否在矩形内，intersects(RectHV)是否与另一个矩形相交，以及矩形到点的平方距离和距离，绘制等。源码都可以找到来进行分析。
下面就是要完成的两个任务：Brute-force 实现 和 2d-tree 实现。
需要实现的API是一样的，这里以PointSET为例子，2d-tree也一样：
public class PointSET { public PointSET() // construct an empty set of points public boolean isEmpty() // is the set empty? public int size() // number of points in the set public void insert(Point2D p) // add the point p to the set (if it is not already in the set) public boolean contains(Point2D p) // does the set contain the point p? public void draw() // draw all of the points to standard draw public Iterable<Point2D> range(RectHV rect) // all points in the set that are inside the rectangle public Point2D nearest(Point2D p) // a nearest neighbor in the set to p; null if set is empty }
Brute-force:暴力的实现需要insert()和contains()是在O(logn)的复杂度，nearest()和range()是O(N)的复杂度。
这里用algs4.jar的SET来实现，代码很简单。
range(RectHV): 遍历SET中所有Point与当前RectHV进行包含关系判断
nearest(Point2D)：遍历SET中的所有Point与当前Point进行距离判断，不断更新最小距离和最小距离的点，在进行距离判断的时候，用平方距离，开方会影响计算速度。
public class PointSET { private SET<Point2D> set; // construct an empty set of points public PointSET() { set = new SET<Point2D>(); } // is the set empty? public boolean isEmpty() { return set.isEmpty(); } // number of points in the set public int size() { return set.size(); } // add the point p to the set (if it is not already in the set) public void insert(Point2D p) { set.add(p); } // does the set contain the point p? public boolean contains(Point2D p) { return set.contains(p); } // draw all of the points to standard draw public void draw() { for (Point2D p : set) { StdDraw.point(p.x(), p.y()); } } // all points in the set that are inside the rectangle public Iterable<Point2D> range(RectHV rect) { Queue<Point2D> q = new Queue<Point2D>(); for (Point2D p : set) { if (rect.contains(p)) q.enqueue(p); } return q; } // a nearest neighbor in the set to p; null if set is empty public Point2D nearest(Point2D p) { double mindis = Double.MAX_VALUE; Point2D ret = null; for (Point2D s : set) { double dis = s.distanceSquaredTo(p); if (dis < mindis) { mindis = dis; ret = s; } } return ret; } }
2d-tree：这里是使用BST为结构对节点进行组织，每个节点记录下面的相关属性，这个在Possible Progress Step中有提示。通过assignment中的描述和图可以对它有很清晰的认识。
Node节点定义如下：
p记录当前点，rect记录当前点的“包围盒”(轴平行矩阵)，lb记录左边或者下边的区域节点，rt记录右边或者上边的区域节点。
private static class Node { private Point2D p; // the point // the axis-aligned rectangle corresponding to this node // the max rectangle include this node, aabb private RectHV rect; private Node lb; // the left/bottom subtree private Node rt; // the right/top subtree public Node(Point2D p, RectHV rect) { this.p = p; this.rect = rect; lb = null; rt = null; } }
2d-Tree的具体实现只要参考BST的写法就很好实现，insert的时候原本写的是new RectHV，不断进行递归进行构造，但是new的太多，fail test了。后面在insert中直接把RectHV的4个坐标作为参数在Insert中进行递归。
还有一个比较重要的问题是，在insert，get，draw中，要把方向orientation作为参数，用来标示当前应该是左右分还是上下分，draw，insert和get都参照BST的写法，递归实现是十分简洁的。
range()和nearest()都采用BFS广度搜索的方法，遍历这个2d-tree，进行相交和包含的判断，维护有效的节点信息。nearest()也记得使用平方距离，开方影响运行时间。
代码实现如下：
public class KdTree { private Node root; private int N; private static class Node { private Point2D p; // the point // the axis-aligned rectangle corresponding to this node // the max rectangle include this node, aabb private RectHV rect; private Node lb; // the left/bottom subtree private Node rt; // the right/top subtree public Node(Point2D p, RectHV rect) { this.p = p; this.rect = rect; lb = null; rt = null; } } private final RectHV CANVAS = new RectHV(0, 0, 1, 1); // construct an empty set of points public KdTree() { root = null; N = 0; } // is the set empty? public boolean isEmpty() { return N == 0; } // number of points in the set public int size() { return N; } /************************************** * less * compare two Point2D with orientation *************************************/ private int compareTo(Point2D v, Point2D w, int ori) { if (v.equals(w)) return 0; // same point else { if (ori == 0) { // vertical line if (v.x() < w.x()) return -1; else return 1; } else { // horizontal line if (v.y() < w.y()) return -1; else return 1; } } } /*********************************************** * Insert **********************************************/ private Node insert(Node x, Point2D p, double xmin, double ymin, double xmax, double ymax, int ori) { if (x == null) { N++; return new Node(p, new RectHV(xmin, ymin, xmax, ymax)); } int cmp = compareTo(p, x.p, ori); double x0 = xmin, y0 = ymin, x1 = xmax, y1 = ymax; if (cmp < 0) { if (ori == 0) x1 = x.p.x(); else y1 = x.p.y(); x.lb = insert(x.lb, p, x0, y0, x1, y1, 1-ori); } else if (cmp > 0) { if (ori == 0) x0 = x.p.x(); else y0 = x.p.y(); x.rt = insert(x.rt, p, x0, y0, x1, y1, 1-ori); } return x; } // add the point p to the set (if it is not already in the set) public void insert(Point2D p) { // 0 for vertical, 1 for horizontal root = insert(root, p, CANVAS.xmin(), CANVAS.ymin(), CANVAS.xmax(), CANVAS.ymax(), 0); } /******************************************* * contains *****************************************/ private boolean get(Node x, Point2D p, int ori) { if (x == null) return false; int cmp = compareTo(p, x.p, ori); if (cmp < 0) return get(x.lb, p, 1-ori); else if (cmp > 0) return get(x.rt, p, 1-ori); return true; } // does the set contain the point p? public boolean contains(Point2D p) { // 0 for vertical, 1 for horizontal return get(root, p, 0); } /*************************************** * Draw() *************************************/ private void draw(Node x, int ori) { if (x == null) return; // draw point StdDraw.setPenColor(StdDraw.BLACK); StdDraw.setPenRadius(.01); StdDraw.point(x.p.x(), x.p.y()); // draw line if (ori == 0) { // vertical StdDraw.setPenColor(StdDraw.RED); StdDraw.setPenRadius(); StdDraw.line(x.p.x(), x.rect.ymin(), x.p.x(), x.rect.ymax()); } else { // horizontal StdDraw.setPenColor(StdDraw.BLUE); StdDraw.setPenRadius(); StdDraw.line(x.rect.xmin(), x.p.y(), x.rect.xmax(), x.p.y()); } draw(x.lb, 1-ori); draw(x.rt, 1-ori); } // draw all of the points to standard draw public void draw() { StdDraw.setScale(0, 1); StdDraw.setPenColor(StdDraw.BLACK); StdDraw.setPenRadius(); CANVAS.draw(); draw(root, 0); } // all points in the set that are inside the rectangle public Iterable<Point2D> range(RectHV rect) { Queue<Point2D> points = new Queue<Point2D>(); Queue<Node> queue = new Queue<Node>(); if (root == null) return points; queue.enqueue(root); while (!queue.isEmpty()) { Node x = queue.dequeue(); if (x == null) continue; if (rect.contains(x.p)) points.enqueue(x.p); if (x.lb != null && rect.intersects(x.lb.rect)) queue.enqueue(x.lb); if (x.rt != null && rect.intersects(x.rt.rect)) queue.enqueue(x.rt); } return points; } // a nearest neighbor in the set to p; null if set is empty public Point2D nearest(Point2D p) { if (root == null) return null; Point2D retp = null; double mindis = Double.MAX_VALUE; Queue<Node> queue = new Queue<Node>(); queue.enqueue(root); while (!queue.isEmpty()) { Node x = queue.dequeue(); double dis = p.distanceSquaredTo(x.p); if (dis < mindis) { retp = x.p; mindis = dis; } if (x.lb != null && x.lb.rect.distanceSquaredTo(p) < mindis) queue.enqueue(x.lb); if (x.rt != null && x.rt.rect.distanceSquaredTo(p) < mindis) queue.enqueue(x.rt); } return retp; } }
总结：Last words， 这应该是第一门坚持上完的公开课吧，原来Andrew Ng的ML上了一半后，由于事情太多就把课给荒废了(现在又重新开始新一轮了，fighting！
)。
可能这几个Assignment写的都不咋地，但记录回顾一下，还是觉得很有收获。特别感谢Prof.Sedgewick和Coursera平台，给予了一段精彩的旅程。后面的Part II到时候继续跟上。
不得不感叹，国外的MOOC平台做的相当的完美，提供了这么多好的资源，国内估计也有类似的吧，没去具体了解过。一定程度上真是把大学搬进了家里，不过感觉仅凭MOOC上几周课程来对领域或者部分的知识，作为一个较为（较为深入？）了解比较恰当，如果要熟练运用和掌握，还需要很长的路要走，Study hungry! Study foolish!