在排序数组中查找数字

第一题，数字在排序数组中出现的次数

　　统计一个数字在排序数组中出现的次数. 例如输入排序数组{1,2,3,3,3,3,4,5},由于3在这个数中出现了4次,输出4.

思路

　　如何利用二分查找找到第一个k? 二分查找算法总是先拿数组中间的数组和k作比较.

1. 如果中间数字比k大,那么k只可能出现数组的前半段,下一轮只在数组的前半段查找就可以了.
2. 如果中间数字比k小,那么k只可能出现数组的后半段,下一轮只在数组的后半段查找就可以了.
3. 如果中间数组和k相等,先判断这个数字是不是第一个k.
4. 如果位于中间数字前面的一个数字不是k,那么此时中间的数字刚好就是第一个k.
5. 如果中间数字的前面一个数字也是k,也就是说第一个k肯定在数组的前半段,下一轮仍然需要在数组的前半段查找.

　　基于同样的思路可以在排序数组中找到最后一个k.

1. 如果中间数字比k大,那么k只能出现在数组的前半段.
2. 如果中间数字比k小,那么k只能出现在数组的后半段.
3. 如果中间数子和k相等,需要判断这个数字是不是最后一个k.
4. 如果位于中间数字后面一个数字不是k,那么此时中间的数字刚好就是最后一个k.
5. 如果中间数字的后面一个数字也是k,也就是说第一个k肯定在数组的后半段,下一轮仍然需要在数组的后半段查找.

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution
{
    public:
        int get_num_k(const vector<int> &v,int k);
        int get_first_k(const vector<int> &v,int k,int start,int end);
        int get_last_k(const vector<int> &v,int k,int start,int end);
};
int Solution::get_num_k(const vector<int> &v,int k)
{
    if(v.empty()||v.size()<0)
        return -1;
    
    int first=get_first_k(v,k,0,v.size()-1);
    int last=get_last_k(v,k,0,v.size()-1);
    if(first>=0&&last<v.size()  ) 
        return last-first+1;
    else
        return 0;    
}
int Solution::get_first_k(const vector<int> &v,int k,int start,int end)
{
    if(v.empty()||v.size()<0)
        return -1;
        
    int mid=(start+end)>>1;
    int mid_value=v[mid];
    if(k==mid_value)
    {
        if((mid>0&&v[mid-1]!=k)||mid==0)
            return mid;
        else
            end=mid-1;
    }
    else if(k>mid_value)
        start=mid+1;
    else
        end=mid-1;
        
    return get_first_k(v,k,start,end);
}
int Solution::get_last_k(const vector<int> &v,int k,int start,int end)
{
    if(v.empty()||v.size()<0)
        return -1;
    
    int mid=(start+end)/2;
    int mid_value=v[mid];
    if(mid_value==k)
    {
        if((mid<v.size()-1&&v[mid+1]!=k)||mid==v.size()-1)
            return mid;
        else
            start=mid+1;
    }
    else if(mid_value>k)
        end=mid-1;
    else
        start=mid+1;
        
    return get_last_k(v,k,start,end);
}
int main()
{
    vector<int> v{1,2,3,3,3,3,4,5};
    int k;
    cin>>k;
    
    Solution s;
    cout<<s.get_num_k(v,k)<<endl;
    return 0;
}

第二题，0~n-1中缺失的数字

　　一个长度为n-1的递增排序数组中的所有数字都是唯一的，并且每个数字都在范围0~n-1之内。在范围0 ~ n-1内的n个数字中有且只有一个数字不在该数组中，请找出这个数字。

思路

　　1.先用公式n*(n-1)/2求出0~n-1所有数字之和s1，在求出数组所有数字之和s2，那个不在数组中的数字就是s1-s2的差，这种解法需要O(n)的时间

　　2.数组一开始的一些数字与他们的下表相同，如果说不在数组中的那个数组记为m，那么所有比m小的数字下标与他们的值都相同。可以基于二分查找

　　　　1>如果中间元素的值和它的下标相等，那么下一轮只需要找它的右半边

　　　　2>如果中间元素的值和它的下标不等，并且它前一个元素和它的下标相等，意味着这个中间的数字就是第一个值与下标不等的数字。

　　　　3>如果中间元素的值和它的下标不等，并且他前面的元素和它的下标相等不等，那么只需查找左半边。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std; 

class Solution
{
    public:
        int get_miss_num(const vector<int> &v,int len);
};
int Solution::get_miss_num(const vector<int> &v,int len)
{
    if(v.empty()||v.size()<=0||len<=0)
        return -1;
    
    int left=0,right=len-1;
    while(left<=right)
    {
        int mid=(left+right)>>1;
        if(v[mid]!=mid)
        {
            if(mid==0||v[mid-1]==mid-1)
                return mid;
            else
                right=mid-1;
        }
        else
            left=mid+1;
    }
    if(left==len)
        return len;
}
int main()
{
    vector<int> v{1};
    Solution s;
    cout<<s.get_miss_num(v,1)<<endl;
    return 0;
}

第三题，数组中数值和它的下标相等的元素

　　一个长度为n-1的递增排序数组中的所有数字都是唯一的，并且每个数字都在范围0到n-1之内。在范围0到n-1的n个数字中有且只有一个数字不在该数组中，请找出这个数字。

思路　

　　由于数组是单调递增排序的，因此我们可以尝试二分查找算法来进行优化。假设我们某一步抵达数组中的第i个数字。如果我们很幸运，该数字的值刚好也是i，那么我们就找到了一个数字和其下标相等。

当数字的值和下标不相等的时候，假设数字的值为m。先考虑m大于i的情形，即数字的值大于它的下标。由于数组中的所有数字都唯一并且单调递增，那么对于任意大于0的k，位于下标i+k的数字的值大于或等于m+k。另外，因为m>i，所以m+k>i+k。因此，位于下标i+k的数字的值一定大于它的下标。这意味着如果第i个数字的值大于i，那么它的右边的数字都大于对应的下标，我们都可以忽略。下一轮查找只需要从它左边的数字中查找即可。

　　数字的值m小于它的下标i的情形和上面类似。它左边的所有数字的值都小于对应的下标，也可以忽略。

也可以这样想：

　　先获取数组的中间数，若中间数的值和下标相等，则找到一个满足条件的数；若中间数的值大于它的下标，则根据数组递增的特性可知：中间元素至少比他的下标大1，而且中间数以后的元素的值至少每个比前面大1，同时它们的下标每次也是增加1，所以右边的这些元素的值都大于它们的下标（至少大1），因此需要继续在左边寻找。同理，若中间数的值小于它的下标，则中间数左边的那些元素的值也都小于它们的下标，因此需要继续在右边寻找。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution
{
    public:
        int get_num_same_as_index(const vector<int> &v);
};
int Solution::get_num_same_as_index(const vector<int> &v)
{
    if(v.empty()||v.size()<0)
        return -1;
    int left=0;
    int right=v.size()-1;
    while(left<=right)
    {
        int mid=(left+right)>>1;
        if(v[mid]==mid)
            return mid;
        if(v[mid]>mid)
            right=mid-1;
        else
            left=mid+1;
    }
}
int main()
{
    vector<int> v{-3,-1,1,3,5};
    Solution s;
    cout<<s.get_num_same_as_index(v)<<endl;
    return 0;
}