树链剖分 学习笔记

树链剖分 MOD

luogu 3384 模板

内容主要就是如何在树上用线段树

问题有两个：

1. 区间修改某一节点的子树并统计和
2. 区间修改两节点间的最短路上的节点并统计和

这里就要引入DFS序的概念

如上图，可以发现一棵树的前序遍历会使得一个节点的
子树是一个连续的序列，如果我们建一个数组来记录每个节点所能到达的最深的子节点，我们就能用线段树来维护
它了。

这样我们就解决了问题1，但问题2的操作节点编号是不连续的，我们要怎样处理呢？

如以上述方法标号后的图上两点 (5,8)

我们发现其实图上还是有连续序列的，那么就可以对这些区间分段操作。
如图，可以发现节点 5 在 1->5 这条链上；
而 8 可以单独看作一条链，从 8 到 5 的区间就可以用几条链表示出来，那么图中任意两点皆可如此。

具体操作如下：

1. 找到其中链头较深的节点，将其指针移至链头的父节点，并把链头至原节点之间的连续区间在线段树上修改。

2.重复步骤 1 ，直到两节点在一条链上。

3.对两节点之间的连续区间修改

但是问题来了，如何让链尽量少（也就是链尽量长，因为明显这样线段操作会更多）。

我们发现，子树“大”的节点链会更长，那么只需统计一个节点的 子树最大的 子节点，然后先搜这个节点为其编号。

为此我们要先dfs一遍找子树最大的子节点（顺便把深度，父节点等等预处理掉）

贴代码：

void dfs1(int o,int fx){ //当前节点编号和父节点编号
  dep[o]=dep[fx]+1; //深度
  fa[o]=fx;  //父节点
  siz[o]=1;  // siz[]记录子树大小
  hv[o]=o; 
  int ma=0;
  for(int i=head[o];i!=0;i=e[i].next){
  	int x=e[i].to;
  	if(x==fx) continue;
  	dfs1(x,o);
  	siz[o]+=siz[x];
  	if(ma <= siz[x]){ //找出// 子树最大的子节点
  		ma=siz[x];
  		hv[o]=x;
  	}
  }
}

然后就是编号，这里注意所有数组下标都是原编号而不是我们新给的编号

void dfs2(int o,int topp){
	top[o]=topp;  // top[] 存链顶
	dfn[o]=++cnt; // 编号
    w[cnt]=val[o]; //将原节点的权值转到新编号上
	if(hv[o]!=o)  // 在叶节点上不能再下搜了 不然会死循环
	dfs2(hv[o],topp); //先搜最重节点
	for(int i=head[o];i!=0;i=e[i].next){
		int x=e[i].to;
		if(x==fa[o] || x==hv[o]) continue;
		dfs2(x,x); //新开一个链
	}
}

那么为什么这样会快呢？
不难发现，每一次跳跃最少会减少 1 的深度，
就算每次都跳，也只有 (lg{n}) 次( (n)是节点数）。而每个链的线段树操作是(lg{n}) 的。
所以最终的时间复杂度是 $ O(lg^2{n})$.

剩下就是线段树了。注意树是以新编号建的而数组都是用原编号当的下标。

最后是代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 100050



struct node{
	int next,to;
};
node e[maxn<<1];
int n,m,R,p,cnt;
int dfn[maxn],fa[maxn],siz[maxn],hv[maxn],dep[maxn],val[maxn],head[maxn],top[maxn],w[maxn];
int tree[maxn<<2],lazy[maxn<<2];

void add(int from,int to){
	e[++cnt].next=head[from];
	e[cnt].to=to;
	head[from]=cnt;
}
 
void dfs1(int o,int fx){
	dep[o]=dep[fx]+1;
	fa[o]=fx;
	siz[o]=1;
	hv[o]=o;
	int ma=0;
	for(int i=head[o];i!=0;i=e[i].next){
		int x=e[i].to;
		if(x==fx) continue;
		dfs1(x,o);
		siz[o]+=siz[x];
		if(ma <= siz[x]){
			ma=siz[x];
			hv[o]=x;
		}
	}
}
 
void dfs2(int o,int topp){
	top[o]=topp;
	dfn[o]=++cnt;
    w[cnt]=val[o];
	if(hv[o]!=o) 
	dfs2(hv[o],topp);
	for(int i=head[o];i!=0;i=e[i].next){
		int x=e[i].to;
		if(x==fa[o] || x==hv[o]) continue;
		dfs2(x,x);
	}
}
 
void pushup(int o){
	tree[o]=tree[o<<1]+tree[o<<1|1];
	tree[o]%=p;
}
 
void pushdown(int o,int l,int r){
	if(lazy[o]==0) return;
	int mid=(r+l)>>1;
	lazy[o<<1]+=lazy[o];
	lazy[o<<1|1]+=lazy[o];
	tree[o<<1]+=lazy[o]*(mid-l+1);
	tree[o<<1|1]+=lazy[o]*(r-mid);
	lazy[o<<1]%=p;
	lazy[o<<1|1]%=p;
	tree[o<<1]%=p;
	tree[o<<1|1]%=p;
	lazy[o]=0;
} 

void plus(int o,int l,int r,int ql,int qr,int v){
	if(ql<=l && r<=qr){
		tree[o]+=v*(r-l+1);
		tree[o]%=p;
		lazy[o]+=v;
		lazy[o]%=p;
		return; 
	}
	pushdown(o,l,r);
	int mid=(r+l)>>1;
	if(ql<=mid) plus(o<<1,l,mid,ql,min(qr,mid),v);
	if(qr>mid) plus(o<<1|1,mid+1,r,max(mid+1,ql),qr,v);
	pushup(o);
}
 
 
void build(int o,int l,int r){
	if(r<=l){
		tree[o]=w[l];
		return;
	}
	int mid=(r+l)>>1;
	build(o<<1,l,mid);
	build(o<<1|1,mid+1,r);
	pushup(o);
}
 
int query(int o,int l,int r,int ql,int qr){
	if(ql<=l && r<=qr) return tree[o];
	pushdown(o,l,r);
	int mid=(r+l)>>1,ret=0;
	if(ql<=mid) ret+=query(o<<1,l,mid,ql,min(qr,mid)),ret%=p;
	if(qr>mid) ret+=query(o<<1|1,mid+1,r,max(ql,mid+1),qr),ret%=p;
	return ret;
}

void plus1(int x,int y,int v){
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
		plus(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],v);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	plus(1,1,n,dfn[x],dfn[y],v);
}

void plus2(int x,int v){
	plus(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,v);
}
 
int query1(int x,int y){
	int ret=0;
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
		ret+=query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]),ret%=p;
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	ret+=query(1,1,n,dfn[x],dfn[y]);
	return ret%=p;
}

int query2(int x){
	return query(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1)%p;
}
  
void work(){
	dfs1(R,0);
	dfs2(R,R);
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int opt,x,y,z;
		scanf("%d %d",&opt,&x);
		if(opt==1){
			scanf("%d %d",&y,&z);
			plus1(x,y,z);
		}
		if(opt==2){
			scanf("%d",&y);
			printf("%d
",query1(x,y));
		}
		if(opt==3){
			scanf("%d",&y);
			plus2(x,y);
		}
		if(opt==4){
			printf("%d
",query2(x));
		}
	}
}
 
void input(){
	scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&R,&p);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&val[i]);
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		int tp1,tp2;
		scanf("%d %d",&tp1,&tp2);
		add(tp1,tp2);
		add(tp2,tp1);
	}
	cnt=0;
}
 
int main(){
	input();
	work();
	return 0;
}

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