Lucas定理(卢卡斯定理)

Lucas定理

Lucas定理适用于组合数C(n,m)mod p 时，n和m较大，但是p为素数的时候。

原理就不写了。

其直接应用为：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p，即Lucas(n,m)%p=Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

 

求上式的时候，Lucas递归出口为m=0时返回1

 

求C(n%p, m%p)%p的时候，此处写成C(n, m)%p(p是素数，n和m均小于p)

 

C(n, m)%p = n! / (m ! * (n - m )!) % p = n! * mod_inverse[m! * (n - m)!, p] % p(mod_inverse是指 ...的逆元)

 

由于p是素数，有费马小定理可知，m! * (n - m)! 关于p的逆元就是m! * (n - m)!的p-2次方。

(求逆元详见乘法逆元)

给出有费马小定理与Lucas定理求解组合数中n,m较大且mod一个数的代码：

(n和m较小的时候可用打表的方法)

ll f[N];//f[n] = n!
void init(int p) 
{       
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=p;i++)
    f[i]=f[i-1]*i%p;
} 
ll pow_mod(ll x,ll y,int mod)
{
    ll res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
ll Lucas(ll n,ll k,int p)//C (n, k) % p
{
    ll res=1;
    while (n&&k) 
    {
        ll nn=n%p,kk=k%p;
        if(nn<kk)
        return 0; 
        res=res*f[nn]*pow_mod(f[kk]*f[nn-kk]%p,p-2,p)%p;//inv (f[kk]) = f[kk] ^ (p - 2) % p
        n/=p;
        k/=p;
    }
    return res;
}
int main(void)
{
    init(p);
    printf("%lld
",Lucas(n,m,p));
    return 0;
}

看一个例题： #10228. 「一本通 6.6 例 3」组合    原题链接：https://loj.ac/problem/10228

具体题目不写了，这个题 1<=n,m<=10⁹ ,m<=p<=10⁹ ,很明显，n,m,p都太大了，打表会溢出，但是可以用递归来实现。

上面递归也说了，我们适应于本题，Lucas(n,m,p)%p=Lucas(n/p,m/p,p,p)*C(n%p,m%p,p)%p，(n,m是组合数，p是取模数，对应传值)。

Lucas(n/p,m/p,p,p)是递归式，当m==0时，Lucas(x,0,p)=1，为递归出口。

而C(n%p,m%p,p)%p可以应用费马小定理和乘法逆元求解。带上快速幂。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll pow_mod(ll x,ll y,ll mod)//快速幂 
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
ll C(ll n,ll m,ll p)//求递归式中C(n%p,m%p)%p 
{
    if(m>n)
    return 0;
    ll ans=1,a,b;
    for(ll i=1;i<=m;i++)//循环求阶乘 
    {
        a=(n+i-m)%p;
        b=i%p;
        ans=ans*(a*pow_mod(b,p-2,p)%p)%p;//费马小定理求逆元 
    }
    return ans;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p)//Lucas定理的递归 
{
    if(m==0)
    return 1;
    return C(n%p,m%p,p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
int main()
{
    int t;
    ll n,m,p;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        ll ans;
        ans=lucas(n,m,p);
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}