1 定义:
通常来说最小环是针对有向图而言
从一个点出发,经过一条简单路径回到起点成为环.图的最小环就是所有环中长度最小的.
2.怎样求最小环呢?
1传统的解决方法(dijkstra):
任意一个环的权值，我们都可以看成两个有边相连的结点i、j的直接距离加上i、j间不包含边(边i->j)的最短路径。求最短路径我们第一个想到的就是Dijkstra算法。而Dijkstra所求的是一个点到所有点的最短距离。用Dijkstra所求的i、j的最短距离一定是i、j的直接距离(如果i，j连通)，所以我们需要先将i、j的边从图中删除(若i，j不连通，则不用删除)，再用Dijkstra求新图中i、j的最短距离即可。所以我们每次在图中选取一条边，把它从图中删掉．然后对删掉的那条边所对应的2点进行Dijkstra，也就是m次Dijkstra。
2.floyd求最小环:
抛开Dijkstra算法，进而我们想到用Floyd算法。我们知道，Floyd算法在进行时会不断更新矩阵dist(k)。设dist[k，i，j]表示从结点i到结点j且满足所有中间结点，它们均属于集合{1，2，⋯ ，k}的一条最短路径的权。其中dist[0，i,j
]即为初始状态i到j的直接距离。对于一个给定的赋权有向图， 求出其中权值和最小的一个环。我们可以将任意一个环化成如下形式：u->k->v ->(x1-> x2-> ⋯ xm1)-> u(u与k、k与v都是直接相连的)，其中v ->(x1-> 2-> ⋯ m)-> u是指v到u不经过k的一种路径。
在u，k，v确定的情况下，要使环权值最小， 则要求 (x1一>x2->⋯一>xm)->u路径权值最小．即要求其为v到u不经过k的最短路径，则这个经过u，k，v的环的最短路径就是：[v到u不包含k的最短距离]+dist[O，u，k]+dist[O，k，v]。我们用Floyd只能求出任意2点间满足中间结点均属于集合{1，2，⋯
，k}的最短路径，可是我们如何求出v到u不包含k的最短距离呢?
现在我们给k加一个限制条件：k为当前环中的序号最大的节点(简称最大点)。因为k是最大点，所以当前环中没有任何一个点≥k，即所有点都<k。因为v->(x1->x2->......xm)->u属于当前环，所以x1，x2，⋯ ，xm<k，即x1，x2．⋯。xm≤k一1。这样，v到u的最短距离就可以表示成dist[k一1 ,u,v]。dist[k一1,v,u]表示的是从v到u且满足所有中间结点均属于集合{1，2，⋯
，k一1}的一条最短路径的权。接下来，我们就可以求出v到u不包含k的最短距离了。这里只是要求不包含k，而上述方法用的是dist[k一1，v，u]，求出的路径永远不会包含k+l，k+2，⋯ 。万一所求的最小环中包含k+1，k+2，⋯ 怎么办呢?的确，如果最小环中包含比k大的节点，在当前u,k,v所求出的环显然不是那个最小环。然而我们知道，这个最小环中必定有一个最大点kO，也就是说，虽然当前k没有求出我们所需要的最小环，但是当我们从k做到kO的时候，这个环上的所有点都小于kO了．也就是说在k=kO时一定能求出这个最小环。我们用一个实例来说明：假设最小环为1—3—4—5—6—2—1。的确，在u=l，v=4，k=3时，k<6，dist[3，4，1]的确求出的不是4—5—6—2—1这个环，但是，当u=4，v=6，k=5或u=5，v=2，k=6时，dist[k，v，u]表示的都是这条最短路径.所以我们在Floyd以后，只要枚举u．v，k三个变量即可求出最小环。时间复杂度为O(n3)。我们可以发现，Floyd和最后枚举u，v,k三个变量求最小环的过程都是u,v,k三个变量，所以我们可以将其合并。这样，我们在k变量变化的同时，也就是进行Floyd算法的同时，寻找最大点为k的最小环。
3.模板
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=105;
const int INF=10000000;
int dist[MAXN][MAXN],g[MAXN][MAXN];
int fa[MAXN][MAXN],path[MAXN];
int n,m,num,minc;
void Floyd()
{
int i,j,k,p,tmp;
minc=INF;
for(k=1;k<=n;k++)
{
for(i=1;i<k;i++)
for(j=i+1;j<k;j++)
{
tmp=dist[i][j]+g[i][k]+g[k][j];
if(tmp<minc) //找到更优解
{
minc=tmp;
num=0;
p=j;
while(p!=i) //逆向寻找前驱结点直到找到最前面的i,i->…->j
{
path[num++]=p;
p=fa[i][p];//fa[i][j]保存的不是k,而是fa[k][j].
}
path[num++]=i;
path[num++]=k;
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
tmp=dist[i][k]+dist[k][j];
if(dist[i][j]>tmp)
{
dist[i][j]=tmp;
fa[i][j]=fa[k][j];
}
}
}
}
int main()
{
int i,j,u,v,w;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
g[i][j]=INF;
dist[i][j]=INF;
fa[i][j]=i;
}
while(m--)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
w=min(g[u][v],w); //处理重边
g[u][v]=g[v][u]=dist[u][v]=dist[v][u]=w;
}
Floyd();
if(minc==INF)
printf("No solution.
");
else
{
printf("%d",path[0]);
for(i=1;i<num;i++)
printf(" %d",path[i]);
printf("
");
}
}
system("pause");
return 0;
}