高斯消元中用到的相关概念和模板

线性独立：一组向量，如果其中的一个向量能用别的向量的线性组合的形式表示出来，则这组向量是线性相关的；否则向量组就是线性无关的。

秩：在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性獨立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性獨立的横行的极大数目。

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来

矩阵的秩：矩阵A的秩等于他的行阶梯性矩阵的非零行的数目。

如果对可逆矩阵A和同阶矩阵单位矩阵E进行初等变换后|A E|--->(初等变换)|E A-1| |A| ---->(初等变换)|E|

|E| |A-1|

1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。

2 可逆矩阵一定是方阵。

3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。

4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。

5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。

7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

阶梯型矩阵：（1）：矩阵零行在矩阵最下面。

（2）：个非零行第一个非零元素其列标随行标的增大而严格增大

行简化阶梯型矩阵：在阶梯型矩阵的基础上，矩阵非零行的第一个元素为1，并且其所在的列全部为零

如何解线性方程组。

三步：

（1）：交换方程次序。

（2）：以不等于0的数乘于某个方程。

（3）：一个方程加上另一个方程的k倍。

解线性方程相当于对矩阵（增广矩阵）进行三种初等运算。

（1）：对调矩阵的两行。

（2）：用非零常数k乘于矩阵的某一行的所有元素。

（3）：将矩阵某一行乘于非零常数k后加到某一行对应元素上。