前言
感动,终于学会数学归纳法了
其实数学归纳法很简单
说通俗一点,就是证明最小的数是符合的,然后通过k证明k+1是正确的
没什么好说的,通过实践感受一下吧
数学归纳法证明费马小定理
(求证:a^pequiv a(modspace p)space ,pin P,a in N^*)
很显然当(a=1)时等式是成立的
我们假设当(a=k)时等式成立
我们得到以下结论
(ecause k^pequiv k(modspace p))
( herefore p|(k^p-k))
然后我们需要通过这个结论推出(a=k+1)是成立的
我们同理需要证明
(p|[(k+1)^p-(k+1)])
我们可以把这个玩意儿转化
(p|(sum_{i=0}^{p}C_{p}^{i}k^i-k-1))
然后我们可以把这玩意儿与结论结合起来
化简为
(p|[sum_{i=1}^{p-1}C_{p}^{i}k^i+(k^p-k)])
由于(p|(k^p-k))
所以我们需要证明(p|sum_{i=1}^{p-1}C_{p}^{i}k^i)
我们想想(C_p^{i}=frac{p!}{i!(p-i)!})
(ecause pin P)
( herefore p|sum_{i=1}^{p-1}C_{p}^{i}k^i)
证毕
证明一个玩意儿
求证:(prod_{i=2}^{n}(1+frac{1}{2i-1})>frac{sqrt{2n+1}}{2})
我们先求出特解n=1时不等式成立
我们在假设n=k时不等式成立
得到
(prod_{i=2}^k(1+frac{1}{2i-1})>frac{sqrt{2k+1}}{2})
我们要求证n=k+1时不等式成立
我们需要求证(prod_{i=2}^{k+1}(1+frac{1}{2i-1})>frac{sqrt{2k+3}}{2})
那怎么求证呢?
(ecause prod_{i=2}^k(1+frac{1}{2i-1})>frac{sqrt{2k+1}}{2})
( herefore prod_{i=2}^{k+1}(1+frac{1}{2i-1})>frac{sqrt{2k+1}}{2}*frac{2k+2}{2k+1})
(ecausefrac{sqrt{2k+1}}{2}*frac{2k+2}{2k+1})
(=frac{sqrt{4k^2+8k+4}}{2sqrt{2k+1}})
(又ecausefrac{sqrt{4k^2+8k+4}}{2sqrt{2k+1}}>frac{sqrt{4k^2+8k+3}}{2sqrt{2k+1}})
(又ecausefrac{sqrt{4k^2+8k+3}}{2sqrt{2k+1}})
(=frac{sqrt{2k+1}sqrt{2k+3}}{2sqrt{2k+1}})
(=frac{sqrt{2k+3}}{2})
( herefore prod_{i=2}^{k+1}(1+frac{1}{2i-1})>frac{sqrt{2k+3}}{2})
证毕
扩展欧几里得
解方程:(ax+by=gcd(a,b))
欧几里得定理(gcd(a,b)=gcd(b,aspace mod space b))
这里就不累赘了
很显然,我们有一个特解
当(b=0)时
(x=1,y=0)
并且显然(ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,aspace mod space b))
那么我们可以通过求出(bx^{'}+(aspace mod space b)y^{'}=gcd(b,aspace mod space b))
很显然,我们最后会移到特解
那么我们怎么通过(x^{'},y^{'})求出(x,y)呢
设(d=gcd(a,b)=gcd(b,aspace mod space b))
( herefore ax+by=bx^{'}+(aspace mod space b)y^{'}=d)
( herefore ax+by=bx^{'}+(aspace mod space b)y^{'})
( herefore ax+by=bx^{'}+(a-lfloor frac{a}{b} floor b)y^{'})
( herefore ax+by=bx^{'}+ay^{'}-lfloor frac{a}{b} floor by^{'})
( herefore ax+by=ay^{}+b(x^{'}-lfloor frac{a}{b} floor y^{'}))
( herefore x=y^{'},y=x^{'}-lfloor frac{a}{b} floor y^{'})
总结
我们首先证明特殊解满足要求,然后通过将k+1转化成k
然后由k证明k+1成立
就完成了