二分求幂，快速求解a的b次幂

一个引子

如何求得a的b次幂呢，那还不简单，一个for循环就可以实现！

void main(void)
{
    int a, b;
    int ans = 1;
    cin >> a >> b;
    for (int i = 1; i <= b; i++)
    {
        ans *= a;
    }
    cout << ans;
}

那么如何快速的求得a的b次幂呢？上面的代码还可以优化吗？

当然是ok的！下面就介绍一种方法-二分求幂。

二分求幂

所谓二分求幂，即是将b次幂用二进制表示，当二进制位k位为1时，需要累乘a的2^k次方。

下面优化一下上面的代码：

void main(void)
{
    int a, b;
    int ans = 1;
    cin >> a >> b;
    while (b != 0)
    {
        //当二进制位k位为1时，需要累乘a的2^k次方，然后用ans保存
        if (b % 2 == 1)
        {
            ans *= a;
        }
        a *= a;
        //每次除以2，转换成二进制位
        b /= 2;
    }
    cout << ans;
}

举个例子，当b = 5时，b的二进制为101。

循环次数	二进制位	ans值	a值	b值
0	101	1	a	5
1	101	2	a2	2
2	101	2	a4	1
3	101	32	a16	0

从上表我们可以直观的看出5次幂就可以转换为(2^0+2^2)，即a的5次幂就转变为a的(2^0+2^2)次幂，即a的2^0与a的2^2的乘积。

再来个例子-巩固

此题来源于九度教程“人见人爱A^B”。

题目描述：

求A^B的最后三位数表示的整数。

输入：

输入数据包含多个测试实例，每个实例占一行，由两个正整数a和b组成，其中（1<=a,b<=10000），如果a = 0，被= 0，则表示输入数据结束，不做处理。

输出：

对于每个测试实例，输出a^b的最后三位表示的整数，每个输出占一行。

样例输入：

2 3

12 6

6789 10000

0 0

样例输出：

8

984

1

对于这道题，完全可以用上面的二分求解方法，可以仿照上面的代码进行实现。但是有一点需要注意的是，我们不肯能定义一个整型变量或者long long类型的变量取保存如样例给出的数据a = 6789,b=10000，a^b的计算结果。因为数字太庞大了，在整数范围内是无法表示的。所以我们可以只保存每次计算结果的后三位，因为最终结果的后三位取决于其中间值的后三位。

好吧，给出代码：

void main(void)
{
    int a, b;
    while ((cin >> a >> b))
    {
        int ans = 1;
        if (a == 0 && b == 0)
            break;
        while (b != 0)
        {
            //当二进制位k位为1时，就累加a的2^k次方
            if (b % 2 == 1)
            {
                ans *= a;
                ans %= 1000;
            }
            a *= a;
            a %= 1000;
            //每次除以2，转换成二进制位
            b /= 2;
        }
        cout << ans;
    }
    
}