poj1191 棋盘分割【区间DP】【记忆化搜索】

棋盘分割

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Description

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。 
均方差，其中平均值，x_i为第i块矩形棋盘的总分。 
请编程对给出的棋盘及n，求出O'的最小值。 

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。 
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。 

Output

仅一个数，为O'（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633

Source

Noi 99

题意：

一个8*8的棋盘，进行分割。每次将一个矩形分割成两个。一个矩形的值是里面所有格子值之和。现在想切出n个矩形，希望求得最小的均方差。

思路：

我们先把均方差的公式进行化简

平均值是一个定值，因为每个矩形都是格子值之和。于是我们发现结果之和Xi平方有关。Xi平方越小越好。

对于每一个格子，都可以用两个坐标（i， j）和（x,y）表示，他们分别是矩形的左上角和右下角。

一个矩形有两种切割方法，横着切，竖着切，假设在k处切

横着切时，矩形被分成了(i, j)(k, y) 和 (k + 1, j)(x,y)

竖着切时，矩形被分成了(i,j)(x,k) 和(i, k+1)(x,y)

但是这样还没办法进行状态转移，因为矩形的先后顺序不知道。所以我们可以再引入一维变量，表示各自的顺序。

于是在切割i次时，得到两个矩形，其中一个应该是i+1次切割的矩形。可以得到状态转移方程。

 因为是i推i+1，所以用记忆化搜索写起来可能方便一点

//#include <bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>

#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;

int n;
int board[10][10], hang[10][10], dp[20][10][10][10][10];

/*int getval(int i, int j, int x, int y)
{
    int res = 0;
    for(int k = i; k <= x; k++){
        res += hang[i][y] - hang[i][j - 1];
    }
    return res * res;
}*/

int getval(int i, int j, int x, int y)
{
    int res = 0;
    for(int a = i; a <= x; a++){
        for(int b = j; b <= y; b++){
            res += board[a][b];
        }
    }
    return res * res;
}

int DP(int k, int i, int j, int x, int y)
{
    int ans = 0;
    if(dp[k][i][j][x][y] >= 0)return dp[k][i][j][x][y];
    if(k == n - 1){
        return getval(i, j, x, y);
    }
    dp[k][i][j][x][y] = inf;
    for(int tmp = i; tmp < x; tmp++){
        ans = min(DP(k + 1, i, j, tmp, y) + getval(tmp + 1, j, x, y), DP(k + 1, tmp + 1, j, x, y) + getval(i, j, tmp, y));
        dp[k][i][j][x][y] = min(ans, dp[k][i][j][x][y]);
    }
    for(int tmp = j; tmp < y; tmp++){
        ans = min(DP(k + 1, i, j, x, tmp) + getval(i, tmp + 1, x, y), DP(k + 1, i, tmp + 1, x, y) + getval(i, j, x, tmp));
        dp[k][i][j][x][y] = min(ans, dp[k][i][j][x][y]);
    }
    return dp[k][i][j][x][y];
}

int main(){

    while(scanf("%d", &n) != EOF){
        double sum = 0;
        memset(hang, 0, sizeof(hang));
        for(int i = 1; i <= 8; i++){
            for(int j = 1; j <= 8; j++){
                scanf("%d", &board[i][j]);
                sum += board[i][j] * 1.0;
                hang[i][j] = hang[i][j - 1] + board[i][j];
            }
        }
        sum /= 1.0 * n;
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        int ans = DP(0, 1, 1, 8, 8);
        //cout<<ans<<endl;
        //cout<<dp[n - 1][1][1][8][8]<<endl;
        printf("%.3f
",sqrt((dp[0][1][1][8][8])*1.0/n-sum*sum));
    }
    return 0;
}