Burnside引理与Polya定理

群

群的定义

一个群就是有一个集合(G)。定义一个二元运算 ("*")。 他们满足：
1.封闭性：(a)和(b)是群里的元素，那么(a*b)也是。
2.存在单位元(e)（其实就是类比乘法里的1）。(a*e=e*a=a)
3.每个元素a 都有唯一逆元(a^{-1}), (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)
4.结合律 ((a*b)*c=a*(b*c))

注意一般的群是不满足交换律的,如果满足交换律,我们称它为交换群(Abel群).

子群

如果(G)是群,(H)是(G)的子集,若H在G原来的定义下也成群,则称(H)为(G)的子群.

置换群

置换群可以表示一切有限群.
置换的概念很好理解,就是一个置换(P=left(egin{matrix} 1&2&3&...&n\a_1&a_2&a_3&...&a_n end{matrix} ight))表示元素1被(a_1)取代,元素n被(a_n)取代.置换的乘法就是先做第一个置换再做第二个置换.
由很多置换构成的群就是置换群.

对称群

n个元素置换(left(egin{matrix} 1&2&3&...&n\a_1&a_2&a_3&...&a_n end{matrix} ight)),(a_1,a_2,a_3...a_n)为n!个不同的n的排列,这样构成的群就是n个文字的对称群,记为(S_n).

奇循环和偶循环

一种简单的表示置换的方法.

[(a_1,a_2,a_3...a_n)=left(egin{matrix} a_1&a_2&a_3&...&a_n\a_2&a_3&a_4&...&a_1 end{matrix} ight)$$这个就叫m阶循环. 2阶循环$(i,j)$称为i,j的**对换**或者**换位**. 任何一个置换都可以写成若干个对换之积. 若一个置换可以分解成奇数个对换之积,称为**奇循环**,反之称为**偶循环**. 奇循环不可能用偶循环之积表示,因为奇数次换位是不可能通过偶数次换位得到的. $S_n$中偶置换全体构成一个$frac 1 2(n!)$的子群,记为$A_n$,称为交代群.偶循环形成的群显然满足封闭性了. ##Burnside引理 ###共轭类 $S_n$具有相同格式的置换全体叫做该格式的**共轭类**. 这里的相同格式表示把一个置换$p$表示成不相交循环的乘积.下面的(k)表示k阶循环. $$p=(1)^{k_1}(2)^{k_2}...(n)^{k_n}]

如果n个k对应的话就是形式相同.
容易得到(S_n)中的((1)^{k_1}(2)^{k_2}...(n)^{k_n})形式的,共轭元素个数为

[frac{n!}{k_1!k_2!...k_n!1^{k_1}2^{k_2}...n^{k_n}} ]

k不动置换类

置换群G中,使k保持不动的置换全体,称为G的k不动置换类,记为(Z_k).

等价类

若存在元素k可以置换为l,则k和l为相同等价类,元素 k所属的等价类记为(E_k)

重要定理

[|E_k||Z_k|=|G| ]

由于k可以通过(|Z_k|)种方式置换成自己,然后在通过某个置换p变为它等价类的任意一个元素,设(G_j=Z_kp_j),则(G_1+G_2+...G_{E_k}subseteq G),(G_j)显然是不相交的.
又(pp_j^{-1}in Z_k),所以(pin Z_kp_j)因为p是G的任意元素,所以(Gsubseteq G_1+G_2+...G_{E_k})

[ herefore G=Z_kp_1+...+Z_kp_{|E_k|} ]

[ herefore |G|=|Z_kp_1|+...+|Z_kp_{E_k}|\=|Z_k|+...+|Z_k|=|E_k||Z_k| ]

Burnside

l表示不同的等价类个数.c(i)表示i置换下 一阶循环的个数.

[l=frac{1}{|G|}sum_{iin G}c(i) ]

i表示在i置换下不动点的个数,(U_i)表示第i个等价类的元素集合.

[|G|=|E_k||Z_k|\sum_{k=1}^{n}Z_k=|G|sum_{k=1}^nfrac{1}{|E_k|}\=|G|sum_{i=1}^{l}sum_{kin U_i}frac{1}{|E_k|}=|G|sum_{i=1}^l1=|G|l ]

[ herefore l=frac{1}{|G|}sum_{k=1}^n|Z_k| ]

[ecause sum_{k=1}^n|Z_k|=sum_{iin G}c(i) ]

[ herefore l=frac{1}{|G|}sum_{iin G}c(i)=frac{1}{|G|}sum_{k=1}^n|Z_k| ]

Polya

Polya定理主要用来解决染色问题计数问题.m表示颜色数,(w(i))表示置换i的表示成不相交循环的循环数.这里的G是表示的n个对象m种染色的置换群,而是作用在n个对象上的置换群.这就省去了burnside大量的列举.

[l=frac{1}{|G|}sum_{iin G}m^{w(i)} ]

证明不会