PageRank 计算博客园用户排名

      PageRank 通过网页与网页之间的链接关系计算各网页权重，一般权重高的网页特点是：链接向它的网页数量多、链向它的网页其权重也较高。PageRank 就是通过这样的连接关系，一轮轮迭代计算后得出各网页的权重。

      思路拓展一下，其实人与人之间也是连接着的，在社会的人际关系网中，每个人的社会地位和身价也是不同的。以微博为例，我们都有关注者和粉丝（类似网页之间的链接），可以发现所谓的“大V”基本上粉丝数量多，并且粉丝里不乏很多其他“大V”，所以这个帐号的价值就大。

      同样博客园也具有类似的社交关系，用户可以选择“关注的人”以及“关注我的人”，理论上是可以用 PageRank 算法算出哪些用户更受大家欢迎，于是本文代大家八卦了一下，文章较长，只想看排名的同学请直接拉到末尾。。。

PageRank 算法简介

1. 数学模型

      《数学之美》第10章的延伸阅读部分，对 PageRank 的计算方法进行了简单介绍，但原书有些错误，修改后描述如下：

      我们设向量 B 为第一、第二…第N个网页的网页排名

      矩阵 A 代表网页之间的权重输出关系，其中 a_mn 代表第 m 个网页向第 n 个网页的输出权重。

      输出权重计算较为简单：假设 m 一共有10个出链，指向 n 的一共有2个，那么 m 向 n 输出的权重就为 2/10。

      现在问题变为：A 是已知的，我们要通过计算得到 B。

      假设 B_i 是第 i 次迭代的结果，那么

      初始假设所有网页的排名都是 1/N （N为网页总数量），即

      通过上述迭代计算，最终 B_i 会收敛，即 B_i 无限趋近于 B，此时 B = B × A。

2. 具体示例

      假设有网页A、B、C、D，它们之间的链接关系如下图所示

      计算 B₁ 如下：

      不断迭代，计算结果如下：

第 1次迭代: 0.125, 0.333, 0.083, 0.458
第 2次迭代: 0.042, 0.500, 0.042, 0.417
第 3次迭代: 0.021, 0.431, 0.014, 0.535
第 4次迭代: 0.007, 0.542, 0.007, 0.444
第 5次迭代: 0.003, 0.447, 0.002, 0.547
第 6次迭代: 0.001, 0.549, 0.001, 0.449
第 7次迭代: 0.001, 0.449, 0.000, 0.550
第 8次迭代: 0.000, 0.550, 0.000, 0.450
第 9次迭代: 0.000, 0.450, 0.000, 0.550
第10次迭代: 0.000, 0.550, 0.000, 0.450
... ...

      我们可以发现，A 和 C 的权重变为0，而 B 和 D 的权重也趋于在 0.5 附近摆动。从图中也可以观察出：A 和 C 之间有互相链接，但它们又把权重输出给了 B 和 D，而 B 和 D之间互相链接，并不向 A 或 C 输出任何权重，所以久而久之权重就都转移到 B 和 D 了。

PageRank 的改进

      上面是最简单正常的情况，考虑一下两种特殊情况：

   

      第一种情况是，B 存在导向自己的链接，迭代计算过程是：

第 1次迭代: 0.125, 0.583, 0.083, 0.208
第 2次迭代: 0.042, 0.833, 0.042, 0.083
第 3次迭代: 0.021, 0.931, 0.014, 0.035
第 4次迭代: 0.007, 0.972, 0.007, 0.014
第 5次迭代: 0.003, 0.988, 0.002, 0.006
第 6次迭代: 0.001, 0.995, 0.001, 0.002
第 7次迭代: 0.001, 0.998, 0.000, 0.001
第 8次迭代: 0.000, 0.999, 0.000, 0.000
第 9次迭代: 0.000, 1.000, 0.000, 0.000
第10次迭代: 0.000, 1.000, 0.000, 0.000
... ...

      我们发现最终 B 权重变为1，其它所有网页的权重都变为了0 =。=!

      第二种情况是 B 是孤立于其它网页的，既没有入链也没有出链，迭代计算过程是：

第 1次迭代: 0.125, 0.000, 0.125, 0.250
第 2次迭代: 0.063, 0.000, 0.063, 0.125
第 3次迭代: 0.031, 0.000, 0.031, 0.063
第 4次迭代: 0.016, 0.000, 0.016, 0.031
第 5次迭代: 0.008, 0.000, 0.008, 0.016
第 6次迭代: 0.004, 0.000, 0.004, 0.008
第 7次迭代: 0.002, 0.000, 0.002, 0.004
第 8次迭代: 0.001, 0.000, 0.001, 0.002
第 9次迭代: 0.000, 0.000, 0.000, 0.001
第10次迭代: 0.000, 0.000, 0.000, 0.000
... ...

      我们发现所有网页权重都变为了0 =。=!

      出现这种情况是因为上面的数学模型出现了问题，该模型认为上网者从一个网页浏览下一个网页都是通过页面的超链接。想象一下正常的上网情景，其实我们在看完一个网页后，可能直接在浏览器输入一个网址，而不通过上一个页面的超链接。

      我们假设每个网页被用户通过直接访问方式的概率是相等的，即 1/N，N 为网页总数，设矩阵 e 如下：

      设用户通过页面超链接浏览下一网页的概率为 α，则直接访问的方式浏览下一个网页的概率为 1 - α，改进上一节的迭代公式为：

      通常情况下设 α 为0.8，上一节”具体示例”的计算变为如下：

     迭代过程如下：

第 1次迭代: 0.150, 0.317, 0.117, 0.417
第 2次迭代: 0.097, 0.423, 0.090, 0.390
第 3次迭代: 0.086, 0.388, 0.076, 0.450
第 4次迭代: 0.080, 0.433, 0.073, 0.413
第 5次迭代: 0.079, 0.402, 0.071, 0.447
第 6次迭代: 0.079, 0.429, 0.071, 0.421
第 7次迭代: 0.078, 0.408, 0.071, 0.443
第 8次迭代: 0.078, 0.425, 0.071, 0.426
第 9次迭代: 0.078, 0.412, 0.071, 0.439
第10次迭代: 0.078, 0.422, 0.071, 0.428
第11次迭代: 0.078, 0.414, 0.071, 0.437
第12次迭代: 0.078, 0.421, 0.071, 0.430
第13次迭代: 0.078, 0.415, 0.071, 0.436
第14次迭代: 0.078, 0.419, 0.071, 0.431
第15次迭代: 0.078, 0.416, 0.071, 0.435
第16次迭代: 0.078, 0.419, 0.071, 0.432
第17次迭代: 0.078, 0.416, 0.071, 0.434
第18次迭代: 0.078, 0.418, 0.071, 0.432
第19次迭代: 0.078, 0.417, 0.071, 0.434
第20次迭代: 0.078, 0.418, 0.071, 0.433
... ...

PageRank 算法实现

      互联网的网页数量是 Billion 级别的，所以不可能一下子初始化矩阵 A ，试想一下 10亿 × 10亿 的矩阵是什么概念！

      这时就用到稀疏矩阵了，定义稀疏矩阵的结构如下（其实是稀疏矩阵的一行）：

public class SparseMatrix<T>
{
    public SparseMatrix(T head, double rank)
    {
        Head = head;
        LinkedItems = new List<T>();
        Rank = rank;
    }

    /// <summary>
    ///     稀疏矩阵头
    /// </summary>
    public T Head { get; private set; }

    public double Rank { get; set; }

    /// <summary>
    ///     稀疏矩阵链接的项目
    /// </summary>
    public List<T> LinkedItems { get; set; }

    public void AddLink(T linkedItem)
    {
        LinkedItems.Add(linkedItem);
    }
}

      第一节中的链接示例图，就可以用如下代码表示：

Dictionary<char, SparseMatrix<char>> matrix = new Dictionary<char, SparseMatrix<char>> 
{
    {'A', new SparseMatrix<char>('A', 0.25){LinkedItems = new List<char>{'B', 'C', 'D'}}},
    {'B', new SparseMatrix<char>('B', 0.25){LinkedItems = new List<char>{'D'}}},
    {'C', new SparseMatrix<char>('C', 0.25){LinkedItems = new List<char>{'A', 'D'}}},
    {'D', new SparseMatrix<char>('D', 0.25){LinkedItems = new List<char>{'B'}}}
};

      通过稀疏矩阵计算，与原先的整个矩阵行列式计算有较大不同，计算次序已经发生了变化。原先矩阵是一行乘以权重的竖列，稀疏矩阵则变为类似于按原先矩阵的竖列与权重相乘。矩阵运算中当然不允许 1 × N 矩阵与 1 × N 矩阵相乘的情况，我们能做的就是先将一项项算好，比如先算 A 这一行，算出 A 给 B、C、D输出多少权重，在一个类似字典类型的数据结构里，给 B、C和 D 各加上一笔，像是一个 Map-Reduce 过程。

public class MapReduce<T>
{
    private readonly Dictionary<T, double> _map;

    public MapReduce()
    {
        _map = new Dictionary<T, double>();
    }

    public double Reduce(T key, double value)
    {
        if (_map.ContainsKey(key))
        {
            _map[key] += value;
            return _map[key];
        }
        _map.Add(key, value);
        return value;
    }

    public double GetOrSetDefaultValue(T key)
    {
        if (_map.ContainsKey(key))
            return _map[key];
        _map.Add(key, 0.0);
        return 0.0;
    }
}

      PageRank 设计如下：

public class PageRank<T>
{
    private MapReduce<T> _mapReduce;
    private readonly double _stayProbability;
    private readonly double _averageRank;

    /// <summary>
    /// 
    /// </summary>
    /// <param name="totalCount">项目总数</param>
    /// <param name="stayProbability">保持留在某个项目, 不跳转的概率</param>
    public PageRank(int totalCount, double stayProbability = 0.8)
    {
        _mapReduce = new MapReduce<T>();
        _stayProbability = stayProbability;
        _averageRank = 1.0 / totalCount;
    }

    /// <summary>
    ///     计算下一轮PageRank
    /// </summary>
    public void NextCircle()
    {
        _mapReduce = new MapReduce<T>();
    }

    /// <summary>
    ///     计算一条行列式
    /// </summary>
    /// <param name="sparseMatrix">稀疏矩阵</param>
    public void Calc(SparseMatrix<T> sparseMatrix)
    {
        var outputRank = 1.0 / sparseMatrix.LinkedItems.Count;

        foreach (var item in sparseMatrix.LinkedItems)
        {
            _mapReduce.Reduce(item,
                _stayProbability * outputRank * sparseMatrix.Rank);
        }
        //当没有其它链接指向Head的时候, 以防漏项
        _mapReduce.Reduce(sparseMatrix.Head, (1 - _stayProbability) * _averageRank);
    }

    /// <summary>
    ///     一轮PageRank迭代之后, 获取最新的PageRank并更新
    /// </summary>
    /// <param name="key"></param>
    /// <returns></returns>
    public double GetCurrentRank(T key)
    {
        return _mapReduce.GetOrSetDefaultValue(key);
    }
}

      调用示例：

var matrix = new Dictionary<char, SparseMatrix<char>> 
{
    {'A', new SparseMatrix<char>('A', 0.25){LinkedItems = new List<char>{'B', 'C', 'D'}}},
    {'B', new SparseMatrix<char>('B', 0.25){LinkedItems = new List<char>{'D'}}},
    {'C', new SparseMatrix<char>('C', 0.25){LinkedItems = new List<char>{'A', 'D'}}},
    {'D', new SparseMatrix<char>('D', 0.25){LinkedItems = new List<char>{'B'}}}
};

var pageRank = new PageRank<char>(matrix.Count);
//计算30轮
for (int i = 1; i <= 30; i++)
{
    pageRank.NextCircle();
    foreach (var item in matrix)
    {
        pageRank.Calc(item.Value);
    }
    foreach (var item in matrix)
    {
        var cRank = pageRank.GetCurrentRank(item.Key);
        item.Value.Rank = cRank;
    }
    var str = string.Join(", ", matrix.Select(item => item.Value.Rank.ToString("N3")));
    Console.WriteLine(string.Format("第{0,2}次迭代: {1}", i, str));
}

      开源地址：https://github.com/CreateChen/PageRank

博客园用户权重计算

      写一个简单的网络爬虫，爬取博客园所有用户的 Id、关注的人等信息（过程略），最终得到如下结构的表格：

      首先八卦一下粉丝数量 Top 20，方便与 PageRank 算出的结果做对比。

      下面进入真正的 PageRank 计算了，利用第二节的程序计算，一次迭代计算速度很快，从数据库获取数据并且计算完毕只要6秒，更新数据库的 Rank 字段需要近30秒。下表展示的是第1轮迭代、第15轮的用户的权重：

排名	NickName	Rank	…	NickName	Rank
1	梦想天空（山边小溪）	0.002165	…	梦想天空（山边小溪）	0.001346
2	Fish Li	0.00192	…	dudu	0.001334
3	汤姆大叔	0.001514	…	Artech	0.00102
4	Jimmy Zhang	0.001281	…	Fish Li	0.000947
5	M了个J	0.001244	…	司徒正美	0.000786
6	Artech	0.001164	…	李永京	0.000746
7	农民伯伯	0.001161	…	汤姆大叔	0.0007
8	司徒正美	0.000987	…	趣味苹果开发	0.000677
9	Vamei	0.000953	…	通用C#系统架构	0.000601
10	tornadomeet	0.000858	…	M了个J	0.00059
11	伍华聪	0.000787	…	Jimmy Zhang	0.000586
12	一线码农	0.000786	…	banban	0.000576
13	吴秦	0.00075	…	Milo Yip	0.000532
14	dudu	0.000729	…	张善友	0.000488
15	虫师	0.000722	…	Jeffrey Zhao	0.00047
16	小坦克	0.000691	…	觉先	0.000462
17	Rollen Holt	0.000649	…	SoftwareTeacher	0.000444
18	圣殿骑士	0.000545	…	博客园团队	0.000434
19	CareySon	0.000538	…	TerryLee	0.000434
20	文顶顶	0.000538	…	胡尐睿丶	0.00043
21	小洋（燕洋天）	0.000535	…	T2噬菌体	0.000422
22	虾皮	0.000529	…	农民伯伯	0.000415
23	JerryLead	0.000526	…	Anytao	0.000411
24	李永京	0.000508	…	圣殿骑士	0.000411
25	方倍工作室	0.000505	…	深蓝色右手	0.000406
26	cloudgamer	0.000486	…	伍华聪	0.0004
27	杨中科	0.000483	…	一线码农	0.000399
28	TerryLee	0.000467	…	小洋（燕洋天）	0.000388
29	张善友	0.000466	…	Cat Chen	0.000374
30	深蓝色右手	0.000457	…	CareySon	0.000371
31	谦虚的天下	0.000445	…	Vamei	0.000365
32	通用C#系统架构	0.000435	…	ziqiu.zhang	0.000358
33	胡尐睿丶	0.00042	…	周 金根	0.000351
34	三生石上	0.000413	…	伍迷	0.000342
35	KenshinCui	0.000397	…	xiaotie	0.000332
36	博客园团队	0.000389	…	谦虚的天下	0.000331
37	酸奶小妹	0.000387	…	冠军	0.000329
38	Milo Yip	0.000372	…	吴秦	0.000327
39	伍迷	0.00037	…	cloudgamer	0.000318
40	子龙山人	0.000369	…	tornadomeet	0.000305
41	Insus.NET	0.000369	…	酸奶小妹	0.0003
42	菩提树下的杨过	0.000369	…	小坦克	0.0003
43	万一	0.000368	…	【当耐特】	0.000285
44	_Luc_	0.000367	…	chenkai	0.000277
45	夏天的森林	0.000354	…	Justin	0.000274
46	ziqiu.zhang	0.000351	…	装配脑袋	0.000272
47	Jeffrey Zhao	0.000351	…	虫师	0.000271
48	叶小钗	0.000343	…	菩提树下的杨过	0.000271
49	真 OO无双	0.000343	…	Gnie	0.00027
50	SoftwareTeacher	0.000337	…	张逸	0.000252
51	webabcd	0.000333	…	LeftNotEasy	0.000245
52	T2噬菌体	0.000331	…	小静（Cathy）	0.00024
53	Ruthless	0.000328	…	Gray Zhang	0.000237
54	peida	0.000327	…	Jesse Liu	0.000237
55	陈梓瀚(vczh)	0.000324	…	JerryLead	0.000231
56	聂微东	0.000322	…	webabcd	0.000228
57	Jesse Liu	0.000317	…	fly in ocean	0.000225
58	【当耐特】	0.000288	…	Anders Cui	0.000221
59	西西吹雪	0.000286	…	代震军	0.000221
60	snandy	0.000286	…	COM张	0.00022
61	Phinecos(洞庭散人)	0.000286	…	楠小楠	0.00021
62	David_Tang	0.000283	…	何戈洲	0.00021
63	yangecnu	0.000282	…	三生石上	0.000207
64	孤傲苍狼	0.000278	…	路过秋天	0.000204
65	Learning hard	0.000277	…	Jake Lin	0.000203
66	Stephen_Liu	0.000272	…	飞洋过海	0.000201
67	Terry_龙	0.000269	…	陈希章	0.0002
68	xiaotie	0.000269	…	叶小钗	0.000198
69	Leo Chin	0.000269	…	eaglet	0.000197
70	海 子	0.000267	…	陈梓瀚(vczh)	0.000197
71	Barret Lee	0.000264	…	_Luc_	0.000194
72	路过秋天	0.000263	…	snandy	0.000191
73	Dsp Tian	0.000255	…	新瓶老酒	0.000186
74	Devin Zhang	0.000255	…	Bēniaǒ	0.000185
75	苍梧	0.000252	…	dax.net	0.000185
76	觉先	0.000251	…	麒麟.NET	0.000185
77	周 金根	0.00025	…	方倍工作室	0.000183
78	冠军	0.000249	…	万一	0.000181
79	何戈洲	0.000242	…	陈硕	0.000179
80	刘冬.NET	0.000237	…	任力	0.000177
81	hoojo	0.000236	…	Franky	0.000177
82	Orisun	0.000236	…	虾皮	0.000173
83	CrazyBingo	0.000235	…	Stephen_Liu	0.000172
84	代震军	0.000234	…	石破天惊	0.000172
85	minglz	0.000231	…	岑安	0.000171
86	Alexia(minmin)	0.000226	…	杨中科	0.00017
87	Gnie	0.000226	…	iOS之旅	0.00017
88	邹华栋	0.000225	…	横刀天笑	0.000169
89	Samaritans	0.000224	…	邀月	0.000168
90	Aaron艾伦	0.000222	…	jv9	0.000165
91	邀月	0.000221	…	聂微东	0.000164
92	Healtheon	0.000219	…	创想中国(羲闻)	0.000164
93	李林峰的园子	0.000219	…	CoderZh	0.000163
94	吕震宇	0.000218	…	Luminji	0.000163
95	沈逸	0.000218	…	winter-cn	0.000163
96	LeftNotEasy	0.000213	…	Rollen Holt	0.000161
97	陈希章	0.000212	…	金色海洋（jyk）阳光男孩	0.000159
98	Hongten	0.000211	…	重典	0.000159
99	创想中国(羲闻)	0.000211	…	阿一(杨正祎)	0.000157
100	Cat Chen	0.000208	…	夜里的烟	0.000157

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