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债券基础
- 键 是一个合同，作者与初始付款义务以预定的时间（s）（成熟）的钱付预定量。这类似于借入利息和付款结构的钱。
- 零息债券 是一种特殊类型的键，其在到期时支付出仅一次没有中间付款。
- 债券的面额/票面金额/本金是发行人在到期时所支付的金额。标准价值通常为$ 1000。
- 债券可以参考价格或收益。例如，将支付$ 100的零息债券的价格可以是$ 90。但收益率将是（100-90）/ 90 = 11％（100-90）/ 90 = 11％，而不是10％10％。
- 债券价格的一个常见约定是，它们最终收于100。这就是为什么当利率上升时，债券价格下降，反之亦然。另一种惯例是美分兑美元（例如，90美分兑美元）。
- 债券收益率被称为年利率。例如，十年期政府债券的收益率为2％，这意味着它的年收益将为2％，而不是10年后。
- 债券可以在二级市场上交易（一级市场是债券发行过程）。如果利率增加，债券的价值就会增加，如果利率降低，债券的价值就会减少，这仅仅是因为该债券是在利率改变之前以便宜/昂贵的价格发行的。也可以做空债券。
- 即使不期望债券产生负利率，也不是完全看不见的。在危机时期，政府债券甚至公司债券可以负收益进行交易。
定价债券
债券价格是通过使用票面利率和现金流量确定债券的现值来确定的。
其中CFt是时间tt的现金流量，B（0，t）是美元的折扣率或时间00的价格。
其中R（0，t）是在时间为tt时在时间00的年度即期汇率。我们可以重新安排
B（0，t）也可以称为零息债券的价格。大多数债券不是零息债券，但是有可能使用零息债券构造几乎所有支付结构。
我们可以暗示与市场债券不同期限的零息票利率。然后，我们可以使用这些利率建立期限结构模型来对任何债券定价。严格违反期限结构可能是买卖机会，也可能是套利机会。
calculate_bond_price<-function(face_value=1000,coupon_rate=0.05,maturity=1,yearly_coupons=0){
#This function calculates the price of the bond B(0,t) given
#its face value, maturity, annual coupon rate and equidistant payment
#if yearly_coupons == 0, it only pays out at the maturity
#if yearly_coupons == 1, it pays out annually
#if yearly_coupons == 2, it pays out semiannually
if(yearly_coupons==0){
face_value/((1+coupon_rate)^maturity)
}else{
face_value/((1+coupon_rate/yearly_coupons)^(yearly_coupons*maturity))
}
}
calculate_bond_price()## [1] 952.381如果我们有适当的证券，我们也可以从付息债券中构造零息债券。从讲义中假设我们有两个纽带。
- 1年期纯贴现债券在$ 95出售。
- 两年期8％的债券售价99美元。
2年期纯折价债券的价格为99-0.08（95）= 91.499-0.08（95）= 91.4（通过买入两年期债券多头和买入一年期债券空头0.08个单位（以抵消第一个债券的收益）年优惠券）。
复利类型
简单复合
这是仅应用一次利率的方法。假设利率为0.05，期限为2年。100美元的价格在到期时将是多少。
定期复利
如果将利息永久添加到本金投资中，那么我们的复利就是利率。假设相同的示例，但每半年复算一次。
产生的年名义利率为 。
连续复利
现在，假设复利的频率很高，以至于在两次加息之间的时间间隔是无限的（接近零）。然后在极限情况下
看起来很熟悉？
因此，以我们的示例为例，连续复利的年利率是 
给定一组零息票债券价格，我们可以计算连续收益率 
#Example bond price is 0.987 and maturity is half a year.
calculate_yield(0.987,0.5)## [1] 0.02617048远期汇率
假设有两个到期日不同的债券 
可以重新排列成
imply_forward_rate<-function(R0t1=0.04,R0t2=0.045,t1=1,t2=2){
((1+R0t2)^t2/(1+R0t1)^t1)^(1/(t2-t1)) -1
}
imply_forward_rate()## [1] 0.05002404
到期日的相关性
利率不仅随着到期日变化，而且随着时间变化。我们还将调用某些数据和计算。
让我们加载库并检查美联储收益率曲线数据。
## R_3M R_6M R_1Y R_2Y R_3Y R_5Y R_7Y R_10Y
## 1981-12-31 12.92 13.90 14.32 14.57 14.64 14.65 14.67 14.59
## 1982-01-31 14.28 14.81 14.73 14.82 14.73 14.54 14.46 14.43
## 1982-02-28 13.31 13.83 13.95 14.19 14.13 13.98 13.93 13.86
## 1982-03-31 13.34 13.87 13.98 14.20 14.18 14.00 13.94 13.87
## 1982-04-30 12.71 13.13 13.34 13.78 13.77 13.75 13.74 13.62
## 1982-05-31 13.08 13.76 14.07 14.47 14.48 14.43 14.47 14.30相关矩阵显示出收益率没有完全相关，因此时间形状会发生变化。
| R_3M | R_6M | R_1Y | R_2Y | R_3Y | R_5Y | R_7Y | R_10Y | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| R_3M | 1.0000000 | 0.9983390 | 0.9940045 | 0.9837559 | 0.9744780 | 0.9546189 | 0.9399504 | 0.9230412 |
| R_6M | 0.9983390 | 1.0000000 | 0.9981715 | 0.9899820 | 0.9817197 | 0.9632268 | 0.9491761 | 0.9332366 |
| R_1Y | 0.9940045 | 0.9981715 | 1.0000000 | 0.9959937 | 0.9900195 | 0.9746174 | 0.9621895 | 0.9478956 |
| R_2Y | 0.9837559 | 0.9899820 | 0.9959937 | 1.0000000 | 0.9984844 | 0.9896811 | 0.9808896 | 0.9694621 |
| R_3Y | 0.9744780 | 0.9817197 | 0.9900195 | 0.9984844 | 1.0000000 | 0.9958583 | 0.9896185 | 0.9804575 |
| R_5Y | 0.9546189 | 0.9632268 | 0.9746174 | 0.9896811 | 0.9958583 | 1.0000000 | 0.9983629 | 0.9936744 |
| R_7Y | 0.9399504 | 0.9491761 | 0.9621895 | 0.9808896 | 0.9896185 | 0.9983629 | 1.0000000 | 0.9981232 |
| R_10Y | 0.9230412 | 0.9332366 | 0.9478956 | 0.9694621 | 0.9804575 | 0.9936744 | 0.9981232 | 1.0000000 |
债券价格和收益率
在这一部分中，我们将看到提取和构建债券价格和收益率的方法。
直接法
假设您得到以下债券利率。请记住，名义汇率是100。
| 优惠券 | 到期 | 价钱 | |
|---|---|---|---|
| 债券1 | 5.0 | 1个 | 101.0 |
| 债券2 | 5.5 | 2 | 101.5 |
| 债券3 | 5.0 | 3 | 99.0 |
| 债券4 | 6.0 | 4 | 100.0 |
零息债券价格（B（0，t）B（0，t）
然后我们得到 
get_zero_coupon()## $B0t
## [1] 0.9619048 0.9119386 0.8536265 0.7890111
##
## $R0t
## [1] 0.03960396 0.04717001 0.05417012 0.06103379线性插值
R03<-0.055
R04<-0.06
R03p75<-((4-3.75)*0.055+(3.75-3)*0.06)/(4-3)
R03p75## [1] 0.05875##Or use the R function
yield_interpolate<-approxfun(x=c(3,4),y=c(0.055,0.06))
yield_interpolate(3.75)## [1] 0.05875三次插值
假设我们的费率如下： 
#Interpolate for a bond of 2.5 years
t_val<-2.5
sum(abcd_vec*((2.5)^(3:0)))## [1] 0.0534375## [1] 0.0534375间接方法（Nelson Siegel）
代替引导技术，我们将使用模型。尼尔森·西格尔（Nelson Siegel）模型是模拟利率收益率曲线的一种流行方法。
其中θ是到期日，β0是级别参数（长期收益率），β1是斜率参数（长期/短期扩展），β2是曲率参数，τ是比例参数。
ns_data <-
data.frame(maturity=1:30) %>%
mutate(ns_yield=nelson_siegel_calculate(theta=maturity,tau=3.3,beta0=0.07,beta1=-0.02,beta2=0.01))
head(ns_data)## maturity ns_yield
## 1 1 0.05398726
## 2 2 0.05704572
## 3 3 0.05940289
## 4 4 0.06122926
## 5 5 0.06265277
## 6 6 0.06376956ggplot(data=ns_data, aes(x=maturity,y=ns_yield)) + geom_point() + geom_line()
可以使用参数来更好地估计收益曲线。
Nelson Siegel参数的估计
YieldCurve 上述R包 具有Nelson Siegel曲线估计功能。
## beta_0 beta_1 beta_2 lambda
## 1981-12-31 14.70711 -5.3917409 3.269125 0.5123605
## 1982-01-31 14.35240 -0.7602066 2.834508 0.1887807
## 1982-02-28 13.74481 -0.9247232 2.681840 0.1236869注意：我们将lambda称为tau（ττ）（形状参数）。
Beta灵敏度
考虑提供Fi未来现金流的债券价格 。因此，带有beta参数的价格变化如下。
nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=2)## Beta0 Beta1 Beta2
## -192.51332 -141.08199 -41.27936nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=7)## Beta0 Beta1 Beta2
## -545.4198 -224.7767 -156.7335nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=15)## Beta0 Beta1 Beta2
## -812.6079 -207.1989 -173.0285