算法13---动态规划矩阵链乘法

算法13---动态规划矩阵链乘法

矩阵链乘法是动态规划里面使用到的一个例子

 

1 两个矩阵的计算

 

那么对于一个矩阵的乘法，首先如果是两个矩阵的乘法，那么如何实现呢？

注意到我们使用二维数组表示矩阵，但是二维数组不能作为函数的返回值。具体实现如下

 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define a_rows  3
#define a_columns 4
#define b_rows  4
#define b_columns 3

void matrix_multiply(int a[a_rows][a_columns],int b[b_rows][b_columns],int c[a_rows][b_columns])
{
    if (a_columns!=b_rows)
    {
        printf("error!can't figure the answer!
");
    }
    for (int i = 0; i < a_rows; i++)
    {
        for (int j = 0; j < b_columns; j++)
        {
            c[i][j]=0;
            for (int k = 0; k< a_columns; k++)
            {
                c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];
            }
        }
    }
}

int main()
{

    printf("it is a easy matrix 
");

    int a[a_rows][a_columns]={{1,1,1,1},{2,2,2,2},{3,3,3,3}};
    int b[b_rows][b_columns]={{1,1,1},{2,2,2},{3,3,3},{4,4,4}};
    int c[a_rows][b_columns]={0};
    matrix_multiply(a,b,c);
    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 3; j++)
        {
            printf("%d  
",c[i][j]);
            if (j==2)
            {
                printf("
");
            }
        }
    }
    return 0;
}

2 矩阵链问题

 

问题描述

     给定n个矩阵构成的一个链<A₁,A₂,A₃,.......A_n>，其中i=1,2,...n，矩阵A的维数为p_i-1p_i，对乘积 A₁A₂...A_n 以一种最小化标量乘法次数的方式进行加全部括号。

　　换句话说，就是在矩阵链乘问题中，实际上并没有把矩阵相乘，目的是确定一个具有最小代价的矩阵相乘顺序。找出这样一个结合顺序使得相乘的代价最低。

 

一般的过程如下

（1）最优括号话方案的结构特征

  假设AiAi+1....Aj的一个最优加全括号把乘积在Ak和Ak+1之间分开，则Ai..k和Ak+1..j也都是最优加全括号的。

 

（2）一个递归求解方案

     设m[i,j]为计算机矩阵Ai...j所需的标量乘法运算次数的最小值，对此计算A1..n的最小代价就是m[1,n]。现在需要来递归定义m[i,j]，分两种情况进行讨论如下：

 

     当i==j时：m[i,j] = 0，（此时只包含一个矩阵）

     当i<j 时：从步骤1中需要寻找一个k（i≤k＜j）值，使得m[i,j] ＝min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj} （i≤k＜j）。

 

（3）计算最优代价

我们不采用递归实现，而是自下向上的借助辅助空间保存中间量实现；

 

（4）构造一个最优解

 

 

具体的实现过程如下面所示

 

还没有调好，主要是二维数组不能作为返回值

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 6
#define MAXVALUE 999999

void recursive_matrix_chain(int *p,int i,int j,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]);
int memoized_matrix_chain(int *p,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]);
int lookup_chain(int *p,int i,int j,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]);

//我们首先采用递归来实现
void recursive_matrix_chain(int *p,int i,int j,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])
{
    if (i==j)
    {
        m[i][j]=0;
    }
    else
    {
        int k;
        m[i][j]=MAXVALUE;
        for (int k = i; k < j; k++)
        {
            int temp=recursive_matrix_chain(p,i,k,m,s)+recursive_matrix_chain(p,k+1,j,m,s)+p[i-1]*p[k]*p[j];
            if (temp<m[i][j])
            {
                m[i][j]=temp;
                s[i][j]=k;
            }
        }

    }
}

//因为递归的计算量太大，所以我们可以采用备忘录的方法，自顶向下实现

int memoized_matrix_chain(int *p,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])
{

    for (int i = 1; i <=N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j <=N; ++j)
        {
            m[i][j]=MAXVALUE;
        }
    }
    return lookup_chain(p,1,N,m,s);
}

int lookup_chain(int *p,int i,int j,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])
{
    if (m[i][j]<MAXVALUE)
    {
        return m[i][j];
    }
    if (i==j)
    {
        m[i][j]=0;
    }
    else
    {
        for (int k = i; i < j; ++k)
        {
            int temp=lookup_chain(p,i,k,m,s)+lookup_chain(p,k+1,j,m,s)+p[i-1]*p[k]*p[j];
            if (temp<m[i][j])
            {
                s[i][j]=k;
            }
        }
    }
    return m[i][j];
}


void print_optimal_parens(int s[N+1][N+1],int i,int j)
{
    if (i==j)
    {
        printf("A%d
",i);
    }
    else
    {
        printf("(");
        print_optimal_parens(s,i,s[i][j]);
        print_optimal_parens(s,s[i][j]+1,j);
        printf(")");
    }
}

int main()
{
    int p[N+1] = {30,35,15,5,10,20,25};
    int m[N+1][N+1]={0};
    int s[N+1][N+1]={0};
    int i,j;
    memoized_matrix_chain(p,N+1,m,s);
    printf("m value is: " );

    for(i=1;i<=N;++i)
    {
        for(j=1;j<=N;++j)
            printf("%d ",m[i][j]);
        printf("
");
    printf("s value is: 
");

    for(i=1;i<=N;++i)
    {
        for(j=1;j<=N;++j)
            printf("%d ",s[i][j]);
        printf("
");
    }
    printf("the result is:
");
    print_optimal_parents(s,1,N);
    return 0;
}

现在再给出一个c++的版本，一个实现，我是看的别人的，自己可以修改

#include <iostream>
using namespace std;

#define N 6
#define MAXVALUE 1000000

void matrix_chain_order(int *p,int len,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1]);
void print_optimal_parents(int s[N+1][N+1],int i,int j);

int main()
{
    int p[N+1] = {30,35,15,5,10,20,25};
    int m[N+1][N+1]={0};
    int s[N+1][N+1]={0};
    int i,j;
    matrix_chain_order(p,N+1,m,s);
    cout<<"m value is: "<<endl;
    for(i=1;i<=N;++i)
    {
        for(j=1;j<=N;++j)
            cout<<m[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    cout<<"s value is: "<<endl;
    for(i=1;i<=N;++i)
    {
        for(j=1;j<=N;++j)
            cout<<s[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    cout<<"The result is:"<<endl;
    print_optimal_parents(s,1,N);
    return 0;
}

void matrix_chain_order(int *p,int len,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])
{
    int i,j,k,t;
    for(i=0;i<=N;++i)
        m[i][i] = 0;
    for(t=2;t<=N;t++)  //当前链乘矩阵的长度
    {
        for(i=1;i<=N-t+1;i++)  //从第一矩阵开始算起，计算长度为t的最少代价
        {
            j=i+t-1;//长度为t时候的最后一个元素
            m[i][j] = MAXVALUE;  //初始化为最大代价
            for(k=i;k<=j-1;k++)   //寻找最优的k值，使得分成两部分k在i与j-1之间
            {
                int temp = m[i][k]+m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(temp < m[i][j])
                {
                    m[i][j] = temp;   //记录下当前的最小代价
                    s[i][j] = k;      //记录当前的括号位置，即矩阵的编号
                }
            }
        }
    }
}

//s中存放着括号当前的位置
void print_optimal_parents(int s[N+1][N+1],int i,int j)
{
    if( i == j)
        cout<<"A"<<i;
    else
    {
        cout<<"(";
        print_optimal_parents(s,i,s[i][j]);
        print_optimal_parents(s,s[i][j]+1,j);
        cout<<")";
    }

}