HDU2767 Proving Equivalences(scc)

题目链接。

题意：

至少增加几条边，才能让图强连通。

分析：

“首先，找出强连通分量，然后把每个强连通分量缩成一个点（缩点），得到一个DAG。 接下来，设有a个结点的入读为0， b个结点的出度为0， 则 max{a, b}就是答案。 注意特殊情况： 当原图已经强连通时， 答案是0而不是1."

这是《算法竞赛入门经典——训练指南》上的原话。对于证明，搜了一下，没有找到。自己呢，试着画了一下，记下个人心得。

自己的理解如下；一个含n个点的图，至少要有n条边，才能强连通。即每一个点至少都会有一个入度和出度。对于得到的DAG，设有a个结点的入度为0， b个结点的出度为0，因为增加一条边会同时增加一个入度和一个出度，因此要强连通，即，要想消去所有入度或出度为0的点，至少要 max{a,b}条边。

对于所述的特殊情况， 当原图已经强连通时，缩点后，整个图会成为一个点，max{a,b} = 1, 但这并不正确，因为本身整个图就强连通，需要0条边。

AC代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <stack>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int maxn = 20000+10;

vector<int> G[maxn];
stack<int> S;
int pre[maxn], lowlink[maxn], scc_cnt, sccno[maxn], dfs_clock;
int in0[maxn], out0[maxn];

void dfs(int u){
    pre[u] = lowlink[u] = ++dfs_clock;
    S.push(u);
    for(int i=0; i<G[u].size(); i++){
        int v = G[u][i];
        if(!pre[v]){  
            dfs(v);
            lowlink[u] = min(lowlink[u], lowlink[v]);
        }
        else if(!sccno[v]){ //反向边
            lowlink[u] = min(lowlink[u], pre[v]);
        }
    }

    if(lowlink[u] == pre[u]){
        scc_cnt++;
        for(;;){
            int x = S.top(); S.pop();
            sccno[x] = scc_cnt;
            if(x == u) break;
        }
    }
}
void find_scc(int n){
    scc_cnt = dfs_clock = 0;
    memset(pre, 0, sizeof(pre));
    memset(sccno, 0, sizeof(sccno));
    for(int i=0; i<n; i++){
        if(!pre[i]) dfs(i);
    }
}

int main(){
    int n, m, u, v, T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d%d", &n, &m);

        for(int i=0; i<n; i++) G[i].clear();
        for(int i=0; i<m; i++){
            scanf("%d%d", &u, &v);
            u--; v--;
            G[u].push_back(v);
        }

        find_scc(n);

        //缩点
        for(int i=1; i<=scc_cnt; i++) in0[i] = out0[i] = 1; //scc_cnt是从1开始编号的

        for(int u=0; u<n; u++){
            for(int i=0; i<G[u].size(); i++){
                int v = G[u][i];
                if(sccno[u] != sccno[v]) in0[sccno[v]] = out0[sccno[u]] = 0;
            }
        }

        int a=0, b=0;

        for(int i=1; i<=scc_cnt; i++){
            if(in0[i]) a++;
            if(out0[i]) b++;
        }

        int ans = max(a, b);

        if(scc_cnt == 1) ans = 0;
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}