基于逆波兰式法的数学表达式计算算法
基于逆波兰式法的数学表达式计算算法
我在上一篇文章中给出了计算规则，但没有举例，这里我举一个具体的例子做说明，方便大家理解。
上篇文章的地址：http://www.cnblogs.com/tangqs/archive/2011/11/03/2234715.html
里面有Delphi7版的源代码和按此方法开发的表达式计算器。
这里先给出运算符的优先级，表中0级优先级最低，7级最高，如下：
|
优先级 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
运算符 |
# |
（ |
， |
＋－ |
* / |
@ ~ |
！% ^ |
) |
|
说明 |
表达式结束符 |
左括弧 |
函数参数连接符 |
加减 |
乘除 |
正负 |
阶乘，百分数，求幂 |
右括弧 |
下面举一个简单的例子，计算表达式：2+（8+4^2）*3
主要分两步，第一步生成逆波兰表达式，第二步计算逆波兰表达式，如下：
第一、生成逆波兰表达式
首先构建一个存储器，另一个符号栈，存储器是从左向右储存数据，而符号栈则遵守后进先出的原则，计算表达式按从左至右的顺序扫描。
* 读入一个数据（重点注意：数值与函数名非单个字符，需要做判断处理）
1. 如果是左单目运算符或者函数名，直接入符号栈；比如 正负号 ~ @ max sin
2. 如果是右单目运算符，直接入存储器栈；比如 阶乘！与百分号%
3. 如果是运输量，则直接写入存储器；检查符号栈顶是否有单目运算符，有的话则全部出栈，并写入存储器；
4. 如果是左括号"("，则直接入符号栈；
5. 如果是右括号")"，则弹出符号栈数据，写入存储器，一直到左括号弹出(左括弧直接丢弃，不写入存储器)，再检查栈顶是否为左单目运算符或者函数名，是的话继续弹出，直到遇到双目运算符；
6. 如果是双目运算符，则与栈顶符号比较优先级，若大于栈顶优先级，则入栈；否则弹出栈顶符号并写入存储器，直到栈顶符号的运算优先级较小为止；
7．如果是函数参数的连接逗号“，”时，则弹出符号栈数据，直到遇到左括弧 ( 或者逗号，为止，再将逗号,入符号栈；
8．如果是结束符（表示表达式已全部读完），则符号栈全部弹出并写入存储器，否则继续按以上规则读取下一个数据；
下面将逐步介绍逆波兰式生成过程：
表达式按从左至右扫描，标记为红色的字符为当前步骤扫描的字符：
0、预处理：为表达式添加一个结束标示符“#”，扫描时按双目运算符考虑，
处理后表达式为：2+（8+4^2）*3#
1、2+（8+4^2）*3#：扫描“2”，按规则3，将运算量 2压入存储器，如下：
|
存储器： |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
符号栈：暂空
|
|
2、2+（8+4^2）*3#：扫描“+”，按规则6，将加号压入符号栈，如下：
|
存储器： |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
符号栈：
|
+ |
3、2+（8+4^2）*3#：扫描“（”，按规则4，将右括弧直接压入符号栈，如下：
|
存储器： |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
符号栈：
|
（ |
|
+ |
4、2+（8+4^2）*3#：扫描“8”，按规则3，将运算量 8压入存储器，如下：
|
存储器： |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
符号栈：
|
（ |
|
+ |
5、2+（8+4^2）*3#：扫描“+”，按规则6，优先级高于（，直接压入符号栈，如下：
|
存储器： |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
符号栈：
|
+ |
|
（ |
|
+ |
6、2+（8+4^2）*3#：扫描“4”，按规则3，将运算量 4压入存储器，如下：
|
存储器： |
2 |
8 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
符号栈：
|
+ |
|
（ |
|
+ |
7、2+（8+4^2）*3#：扫描“^”，按规则6，优先级高于+, 直接压入符号栈，如下：
|
存储器： |
2 |
8 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
符号栈：
|
^ |
|
+ |
|
（ |
|
+ |
8、2+（8+4^2）*3#：扫描“2”，按规则3，将运算量2压入存储器，如下：
|
存储器： |
2 |
8 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
符号栈：
|
^ |
|
+ |
|
（ |
|
+ |
9、2+（8+4^2）*3#：扫描“)”，按规则5，依次弹出 ^ + 压入存储器，同时弹出符号栈左括弧，丢弃。如下：
|
存储器： |
2 |
8 |
4 |
2 |
^ |
+ |
|
|
|
|
|
符号栈：
|
+ |
10、2+（8+4^2）*3#：扫描“*”，按规则6，优先级高于+, 直接压入符号栈，如下：
|
存储器： |
2 |
8 |
4 |
2 |
^ |
+ |
|
|
|
|
|
符号栈：
|
* |
|
+ |
11、2+（8+4^2）*3#：扫描“3”，按规则3，将运算量3压入存储器，如下：
|
存储器： |
2 |
8 |
4 |
2 |
^ |
+ |
3 |
|
|
|
|
符号栈：
|
* |
|
+ |
12、2+（8+4^2）*3#：扫描“#”，按规则6，将符号栈优先级高的符号弹出压入存储器，，然后将#号压入符号栈，如下：
|
存储器： |
2 |
8 |
4 |
2 |
^ |
+ |
3 |
* |
+ |
|
|
符号栈：
|
# |
至此，表达式扫描结束，得到的存储器数值顺序就是逆波兰表达式。
第二、计算逆波兰表达式
按从左至右扫描数据存储器，扫描规则如下：
a、如果读出的是数据则压入计算中间值存储栈；
b、遇到单目运算符号就从计算中间值存储栈弹出一个数据进行运算，再把结果压回计算中间值存储栈；
c、遇到双目运算符号就从计算中间值存储栈弹出两个数据进行运算，再把结果压回计算中间值存储栈；这里需要注意减法与除法以及求幂等计算的顺序，第一次弹出的值作为减数和除数，第二次弹出的值作为被减数和被除数。
d、遇到逗号，就从计算中间值存储栈弹出两个数据用“，”连接起来直接将数值字符串压入计算中间值存储栈，不做计算。比如 12 13 ，压入13,12
e、遇到函数，弹出计算中间值存储栈的相关数据调用函数进行计算；
具体计算步骤
这里除了前面的存储器外，还需要一个计算中间值存储栈。
然后从左至右扫描存储器，下面将给出计算步骤。
|
存储器： |
2 |
8 |
4 |
2 |
^ |
+ |
3 |
* |
+ |
1、扫描“2”，按规则a，弹出后压入计算中间值存储栈，如下：
|
存储器： |
|
8 |
4 |
2 |
^ |
+ |
3 |
* |
+ |
计算中间值存储栈：
|
2 |
2、依次扫描“8”，“4”，“2”,都遵循规则a，弹出后压入计算中间值存储栈，如下：
|
存储器： |
|
|
|
|
^ |
+ |
3 |
* |
+ |
计算中间值存储栈：
|
2 |
|
4 |
|
8 |
|
2 |
3、扫描“^”，按规则c，弹出2、4，按求幂计算 4^2的结果16压入中间值存储栈，如下：
|
存储器： |
|
|
|
|
|
+ |
3 |
* |
+ |
计算中间值存储栈：
|
16 |
|
8 |
|
2 |
4、扫描“+”，按规则c，弹出16、8，按求和计算结果24压入中间值存储栈，如下：
|
存储器： |
|
|
|
|
|
|
3 |
* |
+ |
计算中间值存储栈：
|
24 |
|
2 |
5、扫描“3”，按规则a，弹出数值3后压入计算中间值存储栈，如下：
|
存储器： |
|
|
|
|
|
|
|
* |
+ |
计算中间值存储栈：
|
3 |
|
24 |
|
2 |
6、扫描“*”，按规则c，弹出3、24，按相乘计算结果72压入中间值存储栈，如下：
|
存储器： |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
计算中间值存储栈：
|
72 |
|
2 |
7、扫描“+”，按规则c，弹出72、2，按求和计算结果74压入中间值存储栈，如下：
|
存储器： |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
计算中间值存储栈：
|
74 |
至此，存储器扫描完毕，也即计算完毕，
中间值存储栈中保存的74即为表达式的计算结果。
对于左右单目运算符的计算也是一样的，按上面的规则一样可以计算，对于函数的计算有些不一样，需要编写一些计算方法，具体大家可以看看我源代码里面的处理方法。
源代码下载地址：http://www.cnblogs.com/tangqs/archive/2011/11/03/2234715.html