南京大学2021年春季学期《微分几何》期末考试
限时2小时。考试时间：2021年6月24日。
一、(10分)平面正则闭曲线相对曲率 (k_r(s)=dfrac{1}{sqrt{a^2-s^2}}) ，其中 (s) 是弧长参数，求平面曲线.
二、(20分)平面正则闭曲线在半径为 (r) 的圆盘内，证明曲线上存在一点 (p) 使得 (|k_r(p)|gedfrac{1}{r}) .
三、(20分)直线与平面正则闭凸曲线相交，证明有两个交点或相切，由此证明与该曲线相交的直线(不计重数)集合的测度为弧长.
四、(10分)证明球面正则闭曲线全挠率 (dfrac{1}{2pi}oint_C au(s)ds=0mod 1) ，其中 (s) 是弧长参数.
五、(20分)证明正则曲面非脐点处主曲率光滑，脐点处主曲率连续.
六、(20分)环面 (T:x(u,v)=((a+rcos u)cos v,(a+rcos u)sin v,rsin u)) ，其中 (a>r>0,0le u,v<2pi) ，计算 (iint_T KdA) 和欧拉示性数.
考察相对曲率的定义，设 (T=cos heta e_1+ sin heta e_2) ， (k_r= heta') .
设 (partial D_R,Rle r) 是包含闭曲线的最小圆周，设参数表示为 (y) ，取交点 (p) ，二阶Taylor展开，注意到曲线和最小圆周共切线，不妨设 (k_r>0) ，则 (2dfrac{(x-p)cdot T}{[(x-p)cdot N]^2}ge 2dfrac{(y-p)cdot T}{[(y-p)cdot N]^2}) ，取极限立得 (k_rgedfrac{1}{R}gedfrac{1}{r}) .
按交点个数结合凸性和闭曲线分类讨论. 折线段 ({L_i}_i) 逼近曲线，通过刚体运动将中心置于原点，沿 (e_1) 放置，直线族 (L_{ heta,p}:x^1cos heta+x^2sin heta=p) 与 (L_i) 相交的集合 (S_i=left{(p, heta)|0le ple dfrac{l_i}{2}|cos heta|,0le heta<2pi ight}) ，测度 (iint_{S_i}dpd heta=2l_i) 不随刚体运动变化，相交直线集合测度 (2sumlimits_i l_i=2l) ，不计重数，忽略相切直线零测集，测度为弧长.
对 (|x|equiv R) 求导，可设 (x=cos heta N+sin heta B) ，求导得 ( au= heta') .
若参数表示 (x(u)in C^k(U),Usubsetmathbb{R}^2,kge 3) ，则 (H,Kin C^{k-2}(U)) ，而 (k_1,k_2=Hpmsqrt{H^2-K}) ，非脐点处 (H^2>K) ，故 (k_1,k_2in C^{k-2}(U)) ，脐点处 (k_1=k_2in C^0(U)) .
根据紧致定向闭二维曲面的Gauss-Bonnet公式
事实上由亏格 (g=1) 直接得 (chi(T)=2(1-g)=0) .
第二题是Do Carmo教材《曲线和曲面的微分几何》35页第5题，参考27页第14题.第三题参考Do Carmo教材1-7节四顶点定理和Cauchy-Crofton公式的证明.第四题是沈一兵教材《整体微分几何初步》2.3节球面曲线全挠率的定理2.7的简单的一半.第五题是陈维桓教材《微分几何初步》4.4节主方向和主曲率的计算的定理1.
总结
一如既往考察基础题，但很可惜由于知识点掌握的不熟练，考场上好多题都没做完整，再一次发挥失常。但是，谁也阻挡不了我对数学的热爱，当做题的时间拉长的无穷大，一切困难都将被战胜，加油。