一、定义
堆的定义
堆其实就是一棵完全二叉树（若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边），
定义为：具有n个元素的序列（h1,h2,...hn），当且仅当满足（hi>=h2i,hi>=h2i+1）或（hi<=h2i,hi<=2i+1） (i=1,2,...,n/2)时称之为堆
大顶堆
堆顶元素（即第一个元素）为最大项，并且（hi>=h2i,hi>=h2i+1）
小顶堆
堆顶元素为最小项，并且（hi<=h2i,hi<=2i+1）
二、构建堆（大顶堆）
方法
序列对应一个完全二叉树，从最后一个分支节点（n div 2）开始，到跟（1）为止，一次对每个分支节点进行调整（下沉），以便形成以每个分支节点为根的堆，当最后对树根节点进行调整后，整个树就变成一个堆
实例
先给出一个序列：45，36，18，53，72，30，48，93，15，35
要想此序列称为一个堆，我们按照上述方法，首先从最后一个分支节点（10/2），其值为72开始，一次对每个分支节点53，18，36，45进行调整（下沉）
图解流程
代码实现
/*根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆*/
public static void adjust(List<Integer> heap){
for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--)
adjust(heap,i, heap.size()-1);
System.out.println("=================================================");
System.out.println("调整后的初始堆：");
print(heap);
}
/**
* 调整堆，使其满足堆得定义
* @param i
* @param n
*/
public static void adjust(List<Integer> heap,int i, int n) {
int child;
for (; i <= n / 2; ) {
child = i * 2;
if(child+1<=n&&heap.get(child)<heap.get(child+1))
child+=1;/*使child指向值较大的孩子*/
if(heap.get(i)< heap.get(child)){
swap(heap,i, child);
/*交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整*/
i = child;
} else break;
}
}
//把list中的a,b位置的值互换
public static void swap(List<Integer> heap, int a, int b) {
//临时存储child位置的值
int temp = (Integer) heap.get(a);
//把index的值赋给child的位置
heap.set(a, heap.get(b));
//把原来的child位置的数值赋值给index位置
heap.set(b, temp);
}
三、堆排序
堆排序的性能介绍（适合处理数据量大的序列）
由于它在直接选择排序的基础上利用了比较结果形成。效率提高很大。它完成排序的总比较次数为O(nlog2n)。
堆排序需要两个步骤，一个建堆，而是交换重新建堆。比较复杂，所以一般在小规模的序列中不合适，但对于较大的序列，将表现出优越的性能
算法描述（建堆，交换重新建堆）：
- 初始时把要排序的数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树，调整它们的存储序，使之成为一个 堆，这时堆的根节点的数最大
- 然后将根节点与堆的最后一个节点交换。然后对前面(n-1)个数重新调整使之成为堆
- 依此类推，直到只有两个节点的堆，并对 它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列
代码实现
//对一个最大堆heap排序
public static void heapSort(List<Integer> heap) {
for (int i = heap.size()-1; i > 0; i--) {
/*把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序*/
swap(heap,1, i);
adjust(heap,1, i - 1);
}
}
四、堆排序的应用
场景：
如何从100万个数中找出最大的前100个数
算法分析：
先取出前100个数，维护一个100个数的最小堆，遍历一遍剩余的元素，在此过程中维护堆就可以了。
- 取前m个元素（例如m=100），建立一个小顶堆
- 顺序读取后续元素，直到结束。每次读取一个元素，如果该元素比堆顶元素小，直接丢弃
如果大于堆顶元素，则用该元素替换堆顶元素，然后保持最小堆性质。 - 最后这个堆中的元素就是前最大的100个