算法导论读书笔记（9）

算法导论读书笔记（9）

目录

• 选择问题
  • 最小值和最大值
• 随机选择算法
• 最坏情况线性时间的选择

选择问题

在一个由 n 个元素组成的集合中，第 i 个 顺序统计量 （order statistic）是该集合中第 i 小的元素。例如，在一组元素所组成的集合中， 最小值 是第 1 个顺序统计量（ i = 1 ）， 最大值 是第 n 个顺序统计量（ i = n ）。而 中位数 （median）是它所在集合的“中点元素”。像这样从一个由 n 个不同数值构成的集合中选择其第 i 个顺序统计量的问题，可以形式化地定义为 选择问题 （selection problem）：

输入： 一个包含 n 个（不同的）数的集合 A 和一个数 i ，1 <= i <= n 。
输出： 元素 x ∈ A ，它恰好大于 A 中其他的 i - 1个元素。

最小值和最大值

MINIMUM(A)
1 min = A[1]
2 for i = 2 to A.length
3     if min > A[i]
4         min = A[i]
5 return min

MAXIMUM(A)
1 max = A[1]
2 for i = 2 to A.length
3     if max < A[i]
4         max = A[i]
5 reutrn max

对于上面两个过程来说，只要比较 n - 1次就能找出最大值/最小值。

随机选择算法

一般选择问题看起来要比找最小值的简单选择问题更难，但两种问题的渐近运行时间却是相同的：都是 Θ ( n )。这里介绍一种解决选择问题的分治算法，即 RANDOMIZED-SELECT 算法。该算法利用了之前介绍的 RANDOMIZED-PARTITION 过程。

RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)
1  if p == r
2      return A[p]
3  q = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
4  k = q - p + 1
5  if i == k    // the pivot value is the answer
6      return A[k]
7  elseif i < k
8      return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i)
9  else
10     return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)

随机选择算法的最坏情况运行时间为 Θ ( n² )。

最坏情况线性时间的选择

现在来看一个最坏情况运行时间为 Θ ( n )的选择算法 SELECT 。像 RANDOMIZED-SELECT 一样， SELECT 通过对输入数组的递归划分来找出所求元素。但是，该算法的基本思想是要保证对数组的划分是个好的划分。 SELECT 采用了取自快速排序的确定性划分算法 PARTITION ，并做了修改，把划分主元元素作为其参数。

算法 SELECT 通过执行下列步骤来确定一个有 n > 1个元素的输入数组中的第 i 小的元素。

1. 将输入数组的 n 个元素划分成 FLOOR(n / 5) 组，每组5个元素，且至多只有一个组由剩下的 n mod 5个元素组成。
2. 寻找 CEIL(n / 5) 个组中每一组的中位数。首先对每组中的元素（至多为5个）进行插入排序，然后从排序过的序列中选出中位数。
3. 对第 2 步中找出的 CEIL(n / 5) 个中位数，递归调用 SELECT 以找出其中位数 x 。
4. 利用修改过的 PARTITION 过程，按中位数的中位数 x 对输入数组进行划分。让 k 比划分低区的元素数目多1，所以 x 是第 k 小的元素，并且有 n - k 个元素在划分的高区。
5. 如果 i = k ，则返回 x 。否则，如果 i < k ，则在低区递归调用 SELECT 以找出第 i 小的元素，如果 i > k ，则在高区找出第 i - k 个最小元素。