[LuoguP2900] [USACO08MAR]土地征用(Land Acquisition)

土地征用 （Link）

约翰准备扩大他的农场，眼前他正在考虑购买N块长方形的土地。如果约翰单买一块土 地，价格就是土地的面积。但他可以选择并购一组土地，并购的价格为这些土地中最大的长 乘以最大的宽。比如约翰并购一块3 × 5和一块5 × 3的土地，他只需要支付5 × 5 = 25元， 比单买合算。 约翰希望买下所有的土地。他发现，将这些土地分成不同的小组来并购可以节省经费。 给定每份土地的尺寸，请你帮助他计算购买所有土地所需的最小费用。
输入输出格式
输入格式：

(Line) (1:) (A) (single) (integer:) (N)
(Lines) (2..N+1:) (Line) (i+1) (describes) (plot) (i) (with) (two) (space-separated) (integers:) (width) _ (i) (and) (length) _ (i)
输出格式：
(Line) (1:) (The) (minimum) (amount) (necessary) (to) (buy) (all) (the) (plots.)

我们定义结构体(Edge)中含有(X,Y)分别表示一块土地的长和宽。
考虑一块土地(A)，如果有一块土地(B)的(X)和(Y)都大于(A)，那么(A)的存在是没有意义的，因为(A)是可以不耗费任何代价被(B)所合并的，所以它不会对答案产生任何影响。于是我们考虑去掉这样所有的土地(A)。
首先我们将所有土地按照长度从小到大排序，长度相同的按照宽度从小到大排序。定义一个(Stack)，然后连续将所有的土地入栈，在(A)入栈之前将之前栈中所有宽度小于等于(A)的土地全部弹出，然后入栈(A)。那么最后在栈中的元素就是我们所希望的元素。这里的元素是按照长度从小到大，宽度从大到小的顺序有序排列的。
那么显然我们每次合并的都是一个连续的区间。考虑使用(DP)，易得状态转移方程：(dp[i]=min_{j=1}^{j<=Top}(dp[i],dp[j]+Stack[j+1]*L[i])),其中Stack里面存的是元素的宽度，L是栈中元素的长度。（因为有些土地被抛弃了所以我们不能继续使用(Edge)结构体），然而这样的时间复杂度会超时，考虑斜率优化。
我们看到后面的(dp[j]+Stack[j+1]*L[i])，设(k=Stack[j+1]，b=dp[j])，然后(x=L[i])，那么我们就得到了直线方程:(y=kx+b)。套上斜率优化的板子即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 100010
#define LL long long
#define INF 0x7fffffff
using namespace std ;
LL N, Stack[MAXN], Top;
LL dp[MAXN], q[MAXN];
LL A[MAXN], B[MAXN];
LL L[MAXN]; 	
inline void Read(LL & x){
	char C = getchar() ; x = 0 ;
	while(C < '0' || C > '9') C = getchar() ;
	while(C <= '9' && C >= '0')
		x = x * 10 + C - 48, C = getchar() ;
}
inline void Print(LL x){
	LL num = 0 ; char C[15] ;
	while(x) C[++ num] = (x % 10) + 48, x /= 10 ;
	while(num) putchar(C[num --]) ;
	putchar('
') ;
}
struct Node{
	LL X, Y ;
}Edge[MAXN << 1];
inline bool Cmp(Node A, Node B){
	if(A.X == B.X) return A.Y < B.Y;
	else return A.X < B.X;
}
inline void Put_In_Stack(){
	for(int i = 1; i <= N; i ++){
		while(Top && Stack[Top] <= Edge[i].Y)
			Top -- ;
		Stack[++ Top] = Edge[i].Y ;
		L[Top] = Edge[i].X ;
	}
}
inline double Calc(LL i, LL j){
	return dp[j] + Stack[j + 1] * L[i] ;
}
inline bool Slope(LL a, LL b, LL c){
	return (B[c] - B[a]) * (A[b] - A[a]) - (B[b] - B[a]) * (A[c] - A[a]) >= 0;
} 
int main(){
	Read(N) ;
	for(int i = 1; i <= N; i ++){
		Read(Edge[i].X) ;
		Read(Edge[i].Y) ;
	}
	sort(Edge + 1, Edge + N + 1, Cmp) ;
	Put_In_Stack() ;
	A[0] = Stack[1]	;
	LL Head = 1, Tail = 1 ;
	for(int i = 1;i <= Top; i ++){
		while(Head < Tail && Calc(i, q[Head]) >= Calc(i, q[Head + 1])) 
			Head ++ ;
		dp[i] = Calc(i, q[Head]) ;
		A[i] = Stack[i + 1] ;
		B[i] = dp[i] ;
		while(Head < Tail && Slope(q[Tail - 1], q[Tail], i))
			Tail -- ;
		q[++ Tail] = i ;
	}
	Print(dp[Top]) ; return 0 ;
}