【定理】如果一个闭区间能够被一个开区间集合覆盖，则从中可以选出有限个开区间，覆盖住该闭区间。
【证明】
设闭区间[a,b]被开区间集合I覆盖。
用反证法，假设从中不能选出有限个开区间对[a,b]覆盖。
(取[a,b]中点c，将[a,b]分为两个区间[a,c],[c,b],则这两个区间中必有有一个不能被I有限覆盖)
(记[a,b]为[a_{1},b_{1}],记这个不能有限覆盖的区间为[a2,b2])
(再将[a_{2},b_{2}]一分为二，将其中不能有限覆盖的区间记为[a_{3},b_{3}])
(无限重复上述操作，得到无穷区间集合{[a_{n},b_{n}],n=1,2,cdotcdotcdot})
(这个闭区间集合具有以下性质)
((1)quad[a_{n+1},b_{n+1}]subset[a_{n},b_{n}])
((2)quad b_{n}-a_{n}=frac{1}{2^n},n=1,2,3...)
(quadquad 且a_{n}leqslant b_{n},可得)
(quadquad0leqslant b_{n}-a_{n}leqslant frac{1}{2^n})
(quadquad根据迫敛定理，可得quad 0leqslant lim_{n oinfty}b_{n}-a_{n}leqslant lim_{n oinfty}frac{1}{2^n}=0)
(quadquad 得到quad lim_{n oinfty}(a_{n}-b_{n})=0)
(【注意】如果是开区间，那么该区间的有些开覆盖的集合可以选出有限覆盖，但是并非所有开覆盖集合，都能选出有限覆盖，来覆盖该区间)
(例如,虽然，开区间集合I={(-frac{1}{n}，1+frac{1}{n}),nin N^+},可以覆盖(0,1),而且可以有限覆盖(0,1))
(但是，开区间集合I={(frac{1}{n}，1),nin N^+},可以覆盖(0,1),但是不能有限覆盖(0,1))