• 高斯消元 模板


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    时间复杂度  O(n^3)

      1 #include<stdio.h>
      2 #include<algorithm>
      3 #include<iostream>
      4 #include<string.h>
      5 #include<math.h>
      6 using namespace std;
      7 const int MAXN=50;
      8 int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
      9 int x[MAXN];//解集
     10 bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
     11 inline int gcd(int a,int b){int t;while(b!=0){t=b;b=a%b;a=t;}return a;}
     12 inline int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;}//先除后乘防溢出
     13 
     14 /*====================================================================================
     15 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).
     16     ---1>   -2表示有浮点数解,但无整数解
     17     ---2>   -1表示无解
     18     ---3>   0表示唯一解
     19     ---4>   大于0表示无穷解,并返回自由变元的个数
     20 =====================================================================================
     21 有equ个方程,var个变元。
     22 
     23 增广矩阵 行数为equ,   分别为0到equ-1.
     24          列数为var+1, 分别为0到var.
     25 =====================================================================================*/
     26 int Gauss(int equ,int var)
     27 {
     28     int i,j,k;
     29     int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
     30     int col;//当前处理的列
     31     int ta,tb;
     32     int LCM;
     33     int temp;
     34     int free_x_num;
     35     int free_index;
     36 
     37     for(int i=0; i<=var; i++)
     38     {
     39         x[i]=0;
     40         free_x[i]=true;
     41     }
     42 
     43     //转换为阶梯阵.
     44     col=0; // 当前处理的列
     45     for(k = 0; k < equ && col < var; k++,col++)
     46     {
     47         // 枚举当前处理的行.
     48 // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
     49         max_r=k;
     50         for(i=k+1; i<equ; i++)
     51         {
     52             if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
     53         }
     54         if(max_r!=k)
     55         {
     56             // 与第k行交换.
     57             for(j=k; j<var+1; j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
     58         }
     59         if(a[k][col]==0)
     60         {
     61             // 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列.
     62             k--;
     63             continue;
     64         }
     65         for(i=k+1; i<equ; i++)
     66         {
     67             // 枚举要删去的行.
     68             if(a[i][col]!=0)
     69             {
     70                 LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
     71                 ta = LCM/abs(a[i][col]);
     72                 tb = LCM/abs(a[k][col]);
     73                 if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;    //异号的情况是相加
     74                 for(j=col; j<var+1; j++)
     75                 {
     76                     a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
     77                 }
     78             }
     79         }
     80     }
     81     // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
     82     for (i = k; i < equ; i++)
     83     {
     84         // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是自由变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换.
     85         if (a[i][col] != 0) return -1;
     86     }
     87     // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵.
     88     // 且出现的行数即为自由变元的个数.
     89     if (k < var)
     90     {
     91         // 首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个.
     92         for (i = k - 1; i >= 0; i--)
     93         {
     94             // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行.
     95             // 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的.
     96             free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元.
     97             for (j = 0; j < var; j++)
     98             {
     99                 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
    100             }
    101             if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
    102             // 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的.
    103             temp = a[i][var];
    104             for (j = 0; j < var; j++)
    105             {
    106                 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
    107             }
    108             x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
    109             free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
    110         }
    111         return var - k; // 自由变元有var - k个.
    112     }
    113     // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    114     // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    115     for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    116     {
    117         temp = a[i][var];
    118         for (j = i + 1; j < var; j++)
    119         {
    120             if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];    //--因为x[i]存的是temp/a[i][i]的值,即是a[i][i]=1时x[i]对应的值
    121         }
    122         if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解,但无整数解.
    123         x[i] = temp / a[i][i];
    124     }
    125     return 0;
    126 }
    127 int main(void)
    128 {
    129     int i, j;
    130     int equ,var;
    131     while(scanf("%d %d", &equ,&var)!= EOF)
    132     {
    133         memset(a, 0, sizeof(a));
    134         for (i = 0; i < equ; i++)
    135         {
    136             for (j = 0; j < var + 1; j++)
    137             {
    138                 scanf("%d", &a[i][j]);
    139             }
    140         }
    141         int free_num = Gauss(equ,var);
    142         if (free_num == -1)
    143             printf("无解!
    ");
    144         else if (free_num == -2)
    145             printf("有浮点数解,无整数解!
    ");
    146         else if (free_num > 0)
    147         {
    148             //printf("无穷多解! 自由变元个数为%d
    ", free_num);
    149             for (i = 0; i < var; i++)
    150             {
    151                 if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的
    ", i + 1);
    152                 else printf("x%d: %d
    ", i + 1, x[i]);
    153             }
    154         }
    155         else      //free_num==0 唯一解
    156         {
    157             for (i = 0; i < var; i++)
    158             {
    159                 printf("x%d: %d
    ", i + 1, x[i]);
    160             }
    161         }
    162         printf("
    ");
    163     }
    164     return 0;
    165 }
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