题目
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3327
求
[sum^{n}_{i=1}sum^{m}_{j=1}d(ij)
]
其中 (d(x)) 表示 (x) 的因子数量。多测。
(Q,n,mleq 50000)。
思路
可以证明 (d(ij)=sum_{x|i}sum_{y|j}[(x,y)=1])。
所以
[sum^{n}_{i=1}sum^{m}_{j=1}d(ij)
]
[=sum^{n}_{i=1}sum^{m}_{j=1}sum_{x|i}sum_{y|j}[(x,y)=1]
]
枚举 (gcd(x,y)=d)
[=sum^{n}_{i=1}sum^{m}_{j=1}sum_{d|i,d|j}sum_{x|frac{i}{d}}sum_{y|frac{j}{d}}mu(d)
]
[=sum^{min(n,m)}_{d=1}mu(d)sum^{lfloorfrac{n}{d}
floor}_{i=1}sum^{lfloorfrac{m}{d}
floor}_{j=1}lfloorfrac{n}{id}
floorlfloorfrac{m}{id}
floor
]
[=sum^{min(n,m)}_{d=1}mu(d)left ( sum^{lfloorfrac{n}{d}
floor}_{i=1}lfloorfrac{lfloorfrac{n}{d}
floor}{i}
floor
ight )left(sum^{lfloorfrac{m}{d}
floor}_{j=1}lfloorfrac{lfloorfrac{m}{d}
floor}{i}
floor
ight )
]
括号内的东西可以 (O(nsqrt{n})) 整除分块预处理，然后每次询问依然整出分块可以做到 (O(Qsqrt{n}))。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=50010;
int Q,n,m,prm[N],mu[N];
ll ans,f[N];
bool v[N];
void findprm(int n)
{
mu[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!v[i]) prm[++m]=i,mu[i]=-1;
for (int j=1;j<=m;j++)
{
if (i>n/prm[j]) break;
mu[i*prm[j]]=-mu[i]; v[i*prm[j]]=1;
if (!(i%prm[j])) { mu[i*prm[j]]=0; break; }
}
}
}
int main()
{
findprm(N-1);
for (int i=1;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
for (int i=1;i<N;i++)
for (int l=1,r;l<=i;l=r+1)
{
r=i/(i/l);
f[i]+=1LL*(r-l+1)*(i/l);
}
scanf("%d",&Q);
while (Q--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
ans=0;
for (int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1)
{
r=min(n/(n/l),m/(m/l));
ans+=1LL*(mu[r]-mu[l-1])*f[n/l]*f[m/l];
}
printf("%lld
",ans);
}
return 0;
}