读书笔记: 博弈论导论

读书笔记: 博弈论导论 - 总结

总结

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记的总结。

博弈论

博弈论是关于智能理性决策者的协作和冲突的数学模型的研究。

博弈论的目的可以说是研究寻找博弈均衡的方法。
博弈论的直接目标不是找到一个玩家的最佳策略，而是找到所有玩家的最理性策略组合。
我们称最理性策略组合为均衡。

博弈论（也叫逆向博弈论）的另外一个作用是机制设计，根据期望的结果，设计一个博弈体系。

博弈论的分类

这本书中将博弈论的只是分为四类：

• 完整信息的静态博弈
• 完整信息的动态博弈
• 不完整信息的静态博弈
• 不完整信息的动态博弈

博弈论的数学模型

• 普通形式博弈(normal-form game)的数学表达

  1. 一个有限的玩家集合, (N = {1, 2, cdots, n})
  2. 每个玩家的纯策略集合的组合, ({S_1, S_2, cdots, S_n})
  3. 一套收益函数, ({v_1, v_2, cdots, v_n})，对于每个玩家，每一种所有玩家选择的策略组合，都有一个收益值。
     $v_i: S_1 imes S_2 imes cdots imes S_n ext{ for each } i in N $

• 贝叶斯博弈(Bayesian Game)
  用于描述不完整信息博弈。

[left langle N, { A_i }_{i=1}^n, { Theta_i }_{i=1}^n, { v_i(cdot; heta_i), heta_i in Theta_i }_{i=1}^n, { phi_i }_{i=1}^n ight angle \ where \ N = { 1,2,cdots, n} ext{ : is the set of players} \ A_i ext{ : the action set of player i} \ Theta_i ext{ : the type space of player i} \ v_i : A imes Theta_i o mathbb{R} ext{ : type dependent pay of function of player i} \ phi ext{ : the belief of player i with respect to the uncertainty over the other players' types} \ phi( heta_{-i} | heta_i) ext{ : the posterior conditional distribution on } heta_{-i} ]

术语

• 静态博弈(static game) vs 动态博弈(dynamic game)
  静态博弈指所有玩家同时、独立做出选择。也叫做同时博弈(Simultaneous game)
  动态博弈指所有玩家按照次序做出选择。也叫做序贯博弈(Sequential game)、序列博弈。

• 完整信息博弈(Complete information game) and 不完整信息博弈(Incomplete information game)
  完整信息博弈是指所有知识被所有玩家都了解，就是成为了公共知识。
  不完整信息博弈是指一个玩家不知道其他玩家的部分信息(actions, outcomes, payoffs)。

• 完美信息博弈(Information perfect game) vs 不完美信息博弈(Information imperfect game)
  完美信息博弈指一个玩家知道对手做出了选择，并且知道对手的选择是什么。比如：围棋。
  不完美信息博弈指一个玩家知道对手做出了选择，但是不知道对手的选择是什么。比如：德州扑克。

• 普通形式博弈(Normal-Form Game) vs 扩展形式博弈(Extensive-Form Game)
  博弈的数学化定义方式。
  普通形式博弈比较简单，适用描述信息较少的情况，比如：两个玩家的纯策略的静态博弈。
  扩展形式博弈用于形式化描述博弈。无论完美信息还是不完美信息，完整信息还是不完整信息都可以。
  针对不完美信息，支持信息集的概念。
  针对不完整信息，支持Nature和类型概念。

• Subgame-perfect equilibrium
  这里主要说perfect这个词，这个词和equilibrium用在一起时，常常有精炼(refinement)的意思，表示优化均衡的结果。

• 序贯(sequential)
  序贯表示连续的。

• 信念(beliefs)，
  玩家i的一个信念就是他的对手们的一个可能的策略组合。

• 最佳反应(Best Response)
  当其他玩家策略已知时，玩家i的优势策略就是其最佳反应。
  这是博弈论的中心。理性，序贯理性的意味就是最佳反应。均衡的结果也来自于最佳反应。
  最佳反应：对于玩家i，给定其对其他玩家的信念，他会选择在这个信念上对自己最好的行为。

• 序贯理性(Sequential Rationality)
  在博弈中的每个阶段，玩家都保持理性。

• 信任系统(a system of beliefs)
  对每个信息集上一个行动的选择概率。见后面的数学定义。

• 信誉(Reputation)
  在博弈论中，玩家为了证明自己的信誉（自己的类型），会选择一种行为，这种行为只会对自己的类型有益，而对其它类型有损失。

经典博弈问题

• 囚徒困境(Prisoner's Dilemma)
  两个囚徒选择沉默(mum)和告密(flink)的一个静态博弈问题。

		玩家2
		m	f
玩家1	M	4, 4	-1, 5
	F	5, -1	1, 1

• 报复博弈(Revenge Game)
  报复博弈一般和囚徒困境组成一个两阶段博弈。
  两个囚徒在玩完囚徒困境后，进入报复博弈，选择单独人(loner)和加入帮派(gang)的一个静态博弈问题。

		玩家2
		l	g
玩家1	L	0, 0	-4, -1
	G	-1, -4	1, 1

• 古诺双寡头(The Cournot Duopoly)
• (p-Beauty Contest)
• 两性之争(the Battle of the Sexes)

策略

一个策略是一个玩家在博弈中，根据当时的情况，选择其行动的逻辑。
策略有各种各样的。我们可以想象每个策略都是如果这样，我就选择行动X，等等。
博弈理论中定义了一些策略。

• 纯策略(Pure Strategy)
  玩家总是选择一个特定的行动。

• 混合策略(Mixed Strategy)
  玩家在选择行动上有一个可能性分布。但是最终会选择一个纯策略。

• 行为策略(Behavioral Strategy)
  玩家在选择行动上有一个可能性分布。一般用于动态博弈的自然选择，所以总是使用这个可能性分布来计算（期望收益等）。

  正式的说法是：对每个信息集指定一个行动上的独立可能性分布。

• 条件选择策略(Conditional Play)
  如果怎样，我会怎样的策略。

• 奖罚策略(Reward-and-punishment Strategy)
  好行为被奖励，坏行为被惩罚的策略。用于多阶段博弈。

• 残忍触发策略(Grim-trigger strategy)
  在第一阶段上选择一个合作（符合子博弈精炼均衡）的行动；
  在以后的阶段里，继续选择这个合作行动，当且仅当对方也一直选择合作的行动；否则选择惩罚性的行动。

• 使用第三方作为信誉机制(Third-Party Institutions as Reputation Mechanisms)
  在多阶段博弈中，如何保证协作的一种机制。
  玩家1：如果玩家2支付保证金给玩家3（第三方），则信任玩家2，否则不信任。
  玩家2：在阶段1，支付保证金给玩家3。在以后的阶段中，如果玩家3一直遵守保证金协议，则继续支付保证金。
  如果支付保证金了，则于玩家1合作，否则叛变。
  玩家3：（保证金协议）在一个阶段中，如果玩家2合作，则返回保证金给玩家2；否则不返回保证金。

• 不使用第三方的信誉机制(Reputation Transfers without Third Parties)
  在多阶段博弈中，如何保证协作的一种机制。
  玩家(P_1^1)：如果玩家(P_2^1)创建了一个唯一的商标，则信任玩家(P_2^1)，否则不信任。
  玩家(P_2^1)：在阶段1，选择一个唯一的商标，和玩家1合作。然后，把商标以价格(p^* > 1)卖给下家（玩家(P_2^2)）。
  玩家(P_1^t(t>1))：如果1) 玩家(P_2^t)从玩家(P_2^{t-1})手里买了这个唯一的商标，2) 而且这个商标没有被滥用（叛变）过，则信任玩家(P_2^t)，否则不信任。
  玩家(P_2^t(t>1))：如果1) 玩家(P_2^{t-1})从玩家(P_2^{t-2})以价格(p^*)手里买了这个唯一的商标，2) 而且这个商标没有被滥用（叛变）过，和玩家(P_1^t(t>1))合作。然后，把商标以价格(p^*)卖给下家（玩家(P_2^{t+1})）。

方法

• 严格劣势策略(strictly dominated strategy)
  一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。

• 优势策略(Dominant Strategy)
  如果有的话，玩家一定会选择优势策略。

• 帕累托优势(pareto dominate)

• 重复剔除严格劣势均衡(Iterated elimination of strictly dominated strategies (IESDS))
  如果能够找到一个严格劣势策略，将其删除掉，简化了博弈；
  然后在简化的博弈中，重复上面的过程，直到有一个优势策略为止。

• 纳什均衡(Nash equilibrium)
  纳什均衡的定义是：在一个策略组合中，如果一个玩家i，当其他所有玩家的策略都不变时（是这个策略组合中的玩家策略），玩家i的策略是个最佳反应。
  如果这个条件对每个玩家都成立，则这个策略组合是一个纳什均衡。
  纳什均衡的概念可以从纯策略组合，推广到混合策略（期望收益）、（动态博弈的）行为策略、（不完整信息）贝叶斯纳什均衡。

纳什证明了每个博弈都至少有一个纳什均衡。

纳什均衡相当于在博弈论中发现了一个新大陆。
一个问题是纳什均衡的解往往很多，因此，有一个精炼的概念，就是我们常常看到词perfect，其目的是近一步减少纳什均衡的解。

• 子博弈精炼(Subgame perfection)
  子博弈精炼是对纳什博弈的一种优化。
  要求对于一个行为策略组合(sigma^*)，满足在任何一个合适的子博弈中，这个行为策略组合(sigma^*)都是一个纳什均衡。

• 逆向归纳法(Backward induction solution)
  在扩展形式博弈树中，可以形象的看出：
  从底层开始，玩家在每个父节点的子节点集合中，选择出(最佳反应的)其会获得最大收益的行为。每个父节点会对应一个或者几个最佳反应节点。
  将这些节点的收益值作为其父节点的收益值。
  重复迭代可以找到所有玩家的一个子博弈精炼均衡。

• 贝叶斯纳什均衡(Bayesian Nash equilibrium)
  可以说是纳什均衡在不完整信息博弈中的扩展。大概的意思是计算了其他玩家类型的分布概率上的收益期望。
  注意：子博弈精炼不适用于不完整信息博弈，主要原因是不知道其他玩家的类型，导致在子博弈上难以确定收益。

• 精炼贝叶斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)
  在不完整信息博弈中，精炼贝叶斯均衡是一个贝叶斯纳什均衡和一个信任系统的组合，并需要满足下面四个需求：
  精炼贝叶斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)的四个需求：

  • 需求 15.1
    每个玩家在每个信息集上，都将有一个意义明确的信念（关于他的位置）。也就是说博弈将有一个信念体系。
  • 需求 15.2
    (sigma^* = (sigma_1^*, cdots, sigma_n^*))是一个不完整信息博弈的贝叶斯纳什均衡，我们要求在所有信息集上，在均衡路径上的信念符合贝叶斯规则。
  • 需求 15.3
    对于不在均衡路径上的信息集，其信念值可以是任何值。
  • 需求 15.4
    给定玩家的信念，玩家的策略必须是序贯理性。也就是说在每一个信息集上，玩家将选择信念对应的最佳反应。

原理

单阶段偏差原理(The One-Stage Deviation Principle)

在理解单阶段偏差原理之前，我们先回顾一些背景知识：

• 每个博弈都存在至少一个纳什均衡。
• 在有限多阶段博弈中，如果每个阶段博弈都有唯一的纳什均衡，则多阶段博弈的最优结果就是这些纳什均衡的组合（的路径）。
• 在有限多阶段博弈中，如果至少有一个阶段博弈有多个的纳什均衡，则多阶段博弈的最优策略组合可能会偏离阶段博弈的纳什均衡。

那么在多阶段博弈中，在多阶段博弈的扩展形式博弈树(extensive-form game tree)上，一条路径的收益是容易得到的，只要求出每个阶段博弈的收益总和就可以了。
这样，我们也可以比较容易计算两条路径中，哪个更优（一般和折扣率有关）。

问题是：对于玩家i来说，当其他玩家的策略组合(sigma_i)给定的时，如何找到玩家i的最佳反应(best response)？
注：这里的策略可以是任何策略，比如纯策略，混合策略，条件策略等。
这里边，一个比较麻烦的问题是路径太多。比如：考虑一下一个有五个阶段的博弈。
幸运的是，上面这个骇人的问题可以被简化- 这就是单阶段偏差原理。

单阶段偏差原理的含义是，当其他玩家的策略组合(sigma_i)给定的时，判断玩家i的一条路径是否最优，只要看这个路径（策略）是不是单点不可改善(one-shot unimprovable)。
因此只要检测和它有一个信息集不同的那些路径就可以了。
比如：如果一个阶段博弈有A和B两个行动，在一个三阶段的重复博弈中，判断一条玩家的路径（策略）AAA是否是不可改善，只需要对比BAA，ABA和AAB就可以了。
很明显，这个原则只适合于有限多阶段博弈。

其实原书中，对于Prisoner-Revenge Game，计算折扣率，可以看成对单阶段偏差原理的过程描述，只不过只是比较两个路径。

下面加上书中的定义和定理，以供参考。
单阶段偏差原理表述如下:

一个阶段的不可改善策略必定是最优的。
这意味着，如果在一个阶段博弈中，存在一个单阶段不可改善策略，则不会发生偏离，也就是不存在非纳什均衡的最优策略。
反之，则一定会发生偏离的情况。

单阶段不可改善策略的定义如下：

一个策略(sigma_i)是单阶段不可改善的，则:
不存在信息集(h_i)和行动(a in A_i(h_i))和对应的策略(sigma_i^{a, h_i})（其为除了信息集(h_i)以外，和(sigma_i)都一致的策略），有(sigma_i^{a, h_i} > v_i(sigma_i, h_i))。

参照见One-shot deviation principle

基本数学符合

(Gamma): 博弈(game)
(N): 玩家(player)集合
(i): 玩家i, (i in N)
(X): 结果(outcome)集合。
(X_i): 玩家i的结果(outcome)集合。
(x_i): 玩家i的一个结果(outcome)。

(S): 策略集合(strategy set), (S equiv S_1 imes S_2 imes cdots imes S_n).
(S_i): 玩家i的策略集合(strategy set)
(S_{-i}): 除去玩家i的策略集合(strategy set), (S_{-i} equiv S_1 imes S_2 imes cdots imes S_{i-1} imes S_{i+1} imes cdots imes S_n).
(s = (s_1, s_2, cdots, s_n)): 表示所有玩家的一个策略组合。
(s_i): 玩家i的一个策略(strategy)，(s_i in S_i)。
(s_{-i} = (s_1, s_2, cdots, s_{i-1}, s_{i+1}, cdots, s_n)): 表示除了玩家i，以外的所有玩家的一个策略组合。
(A_i): 玩家i的行动集合。
(a_i): 玩家i的一个行动，(a_i in A_i)。
(mathbb{R})AAAAA: 实数。
(u_i: X o mathbb{R}): 玩家i的收益函数，基于一个结果组合。
(v_i: s o mathbb{R}): 玩家i的收益函数，基于一个策略组合。
(H_i): 玩家i的信息集的集合
(h_i): 玩家i的一个信息集，(h_i in H_i)。
(A_i(h_i)): 玩家i的一个信息集(h_i)对应的行动集合。
(s_i(h_i)): 玩家i的一个纯策略。(s_i(h_i) in A_i(h_i))
(T): 多阶段博弈的所有时期。
(t): 多阶段博弈的一个时期。

(p(x_k | a)): 采取行动a时，产生结果(x_k)的概率。
(E(u(x) | a)): 采取行动a的期望收益。
(0 < delta < 1): （多阶段博弈中的）折扣率。

动态博弈(Dynamic Game)

策略组合(sigma = (sigma_1, cdots, sigma_n)): 一个动态博弈的混合策略组合(mixed strategies profile)。

不完整信息博弈

(Theta) : 所有玩家的类型空间(type space)集合。
(Theta_i = { heta_{i1}， cdots， heta_{ik}}) : 玩家i的类型空间(type space)。
( heta_i) : 玩家i的类型(type)。
( heta_{-i}) : 除了玩家i以外其他玩家的类型(type)。
(phi_i) : 玩家 i 对其他玩家 type 的信任分布概率。
(v_i(a; heta_i)) : 当在type ( heta_i)下，依赖于一个行动组合的玩家收益函数，

机制设计

(m_i in mathbb{R}) : 玩家i的资金。
(Y) : 所有玩家（机制设计的）结果组合集合。
(y = (x, m_1, cdots, m_n)) : 所有玩家（机制设计的）一个结果组合。
(Gamma = langle A_1, cdots, A_n, g(cdot) angle) : 一个机制。

不完整信息的动态博弈

(mu): 信任系统(a system of beliefs)，对每个信息集上一个行动的选择概率。

[mu(x) in [0, 1] \ sum_{x in h} mu(x) = 1, forall h in H ]

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间
• 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 05 - 完整信息的静态博弈 纳什均衡
• 读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略
• 读书笔记: 博弈论导论 - 07 - 完整信息的动态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 08 - 完整信息的动态博弈 可信性和序贯理性
• 读书笔记: 博弈论导论 - 09 - 完整信息的动态博弈 多阶段博弈
• 读书笔记: 博弈论导论 - 10 - 完整信息的动态博弈 重复的博弈
• 读书笔记: 博弈论导论 - 11 - 完整信息的动态博弈 战略协议
• 读书笔记: 博弈论导论 - 12 - 不完整信息的静态博弈 贝叶斯博弈
• 读书笔记: 博弈论导论 - 13 - 不完整信息的静态博弈 拍卖和竞标
• 读书笔记: 博弈论导论 - 14 - 不完整信息的静态博弈 机制设计
• 读书笔记: 博弈论导论 - 15 - 不完整信息的动态博弈 序贯理性
• 读书笔记: 博弈论导论 - 16 - 不完整信息的动态博弈 信号传递博弈
• 读书笔记: 博弈论导论 - 17 - 不完整信息的动态博弈 建立信誉
• 读书笔记: 博弈论导论 - 18 - 不完整信息的动态博弈 信息传递和廉价谈判
• 读书笔记: 博弈论导论 - 总结
• Nash bargaining solution
• Mechanism design
• Sequential equilibrium
• Perfect Bayesian equilibrium
• Game theory