强化学习读书笔记 - 05 - 蒙特卡洛方法(Monte Carlo Methods)
学习笔记：
Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016
数学符号看不懂的，先看看这里：
蒙特卡洛方法简话
蒙特卡洛是一个赌城的名字。冯·诺依曼给这方法起了这个名字，增加其神秘性。
蒙特卡洛方法是一个计算方法，被广泛的用于许多领域，用于求值。
相对于确定性的算法，蒙特卡洛方法是基于抽样数据来计算结果。
蒙特卡洛方法的基本思路
蒙特卡洛方法的整体思路是：模拟 -> 抽样 -> 估值。
示例：
比如：如何求(pi)的值。一个使用蒙特卡洛方法的经典例子如下：
我们知道一个直径为1的圆的面积为(pi)。
把这个圆放到一个边长为2的正方形（面积为4）中，圆的面积和正方形的面积比是：(frac{pi}{4})。
如果可以测量出这个比值(c)，那么(pi=c imes 4)。
如何测量比值(c)呢？用飞镖去扎这个正方形。扎了许多次后，用圆内含的小孔数除以正方形含的小孔数可以近似的计算比值(c)。
说明：
模拟 - 用飞镖去扎这个正方形为一次模拟。
抽样 - 数圆内含的小孔数和正方形含的小孔数。
估值 - 比值(c) = 圆内含的小孔数 / 正方形含的小孔数
蒙特卡洛方法的使用条件
-
环境是可模拟的
在实际的应用中，模拟容易实现。相对的，了解环境的完整知识反而比较困难。
由于环境可模拟，我们就可以抽样。 -
只适合情节性任务(episodic tasks)
因为，需要抽样完成的结果，只适合有限步骤的情节性任务。
蒙特卡洛方法在强化学习中的用例
只要满足蒙特卡洛方法的使用条件，就可以使用蒙特卡洛方法。
比如：游戏类都适合：完全信息博弈游戏，像围棋、国际象棋。非完全信息博弈游戏：21点、麻将等等。
蒙特卡洛方法在强化学习中的基本思路
蒙特卡洛方法的整体思路是：模拟 -> 抽样 -> 估值。
如何应用到强化学习中呢？
强化学习的目的是得到最优策略。
得到最优策略的一个方法是求(v_{pi}(s), q_{pi}{s, a})。 - 这就是一个求值问题。
结合通用策略迭代(GPI)的思想。
下面是蒙特卡洛方法的一个迭代过程：
- 策略评估迭代
1. 探索 - 选择一个状态(s, a)。
1. 模拟 - 使用当前策略(pi)，进行一次模拟，从当前状态(s, a)到结束，随机产生一段情节(episode)。
1. 抽样 - 获得这段情节上的每个状态(s, a)的回报(G(s, a))，记录(G(s, a))到集合(Returns(s, a))。
1. 估值 - q(s, a) = Returns(s, a)的平均值。
（因为状态(s, a)可能会被多次选择，所以状态(s, a)有一组回报值。） - 策略优化 - 使用新的行动价值(q(s, a))优化策略(pi(s))。
解释
- 上述的策略评估迭代步骤，一般会针对所有的状态-行动，或者一个起始((s_0, a_0))下的所有状态-行动。
这也说明持续探索（continual exploration）是蒙特卡洛方法的主题。 - 模拟过程 - 会模拟到结束。是前进式的，随机选择下一个行动，一直前进到结束为止。
因此可以看出蒙特卡洛方法需要大量的迭代，才能正确的找到最优策略。 - 策略评估是计算行动价值((q(s, a)))。
(也可以是状态价值，则(pi(s))为状态(s)到其下一个最大价值状态(s‘)的任意行动。)
计算方法：
一些概念
-
Exploring Starts 假设 - 指有一个探索起点的环境。
比如：围棋的当前状态就是一个探索起点。自动驾驶的汽车也许是一个没有起点的例子。 -
first-visit - 在一段情节中，一个状态只会出现一次，或者只需计算第一次的价值。
-
every-visit - 在一段情节中，一个状态可能会被访问多次，需要计算每一次的价值。
-
on-policy method - 评估和优化的策略和模拟的策略是同一个。
-
off-policy method - 评估和优化的策略和模拟的策略是不同的两个。
有时候，模拟数据来源于其它处，比如：已有的数据，或者人工模拟等等。 -
target policy - 目标策略。off policy method中，需要优化的策略。
-
behavior policy - 行为策略。off policy method中，模拟数据来源的策略。
根据上面的不同情境，在强化学习中，提供了不同的蒙特卡洛方法。
- 蒙特卡洛（起始点（Exploring Starts））方法
- On-policy first visit 蒙特卡洛方法（for (epsilon)-soft policies）
- Off-policy every-visit 蒙特卡洛方法
蒙特卡洛（起始点（Exploring Starts））方法
Initialize, for all (s in mathcal{S}, a in mathcal{A}(s)):
(Q(s,a) gets) arbitrary
(pi(s) gets) arbitrary
(Returns(s, a) gets) empty listRepeat forever:
Choose (S_0 in mathcal{S}) and (A_0 in mathcal{A}(S_0)) s.t. all pairs have probability > 0
Generate an episode starting from (S_0, A_0), following (pi)
For each pair (s,a) appearing in the episode:
$G gets $ return following the first occurrence of s,a
Append (G) to (Returns(s, a))
(Q(s, a) gets average(Returns(s, a)))
For each s in the episode:
(pi(s) gets underset{a}{argmax} Q(s,a))
On-policy first visit 蒙特卡洛方法（for (epsilon)-soft policies）
Initialize, for all (s in mathcal{S}, a in mathcal{A}(s)):
(Q(s,a) gets) arbitrary
(pi(a|s) gets) an arbitrary (epsilon)-soft policy
(Returns(s, a) gets) empty listRepeat forever:
(a) Generate an episode using (pi)
(b) For each pair (s,a) appearing in the episode:
$G gets $ return following the first occurrence of s,a
Append (G) to (Returns(s, a))
(Q(s, a) gets average(Returns(s, a)))
(c) For each s in the episode:
(A^* gets underset{a}{argmax} Q(s,a))
For all (a in mathcal{A}(s)):
if (a = A^*)
(pi(a|s) gets 1 - epsilon + frac{epsilon}{|mathcal{A}(s)|})
if (a e A^*)
(pi(a|s) gets frac{epsilon}{|mathcal{A}(s)|})
Off-policy every-visit 蒙特卡洛方法
Initialize, for all (s in mathcal{S}, a in mathcal{A}(s)):
(Q(s,a) gets) arbitrary
(C(s,a) gets) 0
(mu(a|s) gets) an arbitrary soft behavior policy
(pi(a|s) gets) a deterministic policy that is greedy with respect to QRepeat forever:
Generate an episode using (mu):
(S_0,A_0,R_1,cdots,S_{T-1},A_{T-1},R_T,S_T)
(G gets 0)
(W gets 1)
For t = T - 1 downto 0:
(G gets gamma G + R_{t+1})
(C(S_t, A_t) gets C(S_t, A_t) + W)
(Q(S_t, A_t) gets Q(S_t, A_t) + frac{W}{C(S_t, A_t)} |G - Q(S_t, A_t)|)
(pi(S_t) gets underset{a}{argmax} Q(S_t, a)) (with ties broken consistently)
If (A_t e pi(S_t)) then ExitForLoop
(W gets W frac{1}{mu(A_t|S_t)})
总结
蒙特卡洛方法和动态规划的区别
- 动态规划是基于模型的，而蒙特卡洛方法是无模型的。
注：基于模型(model-base)还是无模型(model-free)是看(状态或者行动)价值((G, v(s), q(s,a)))是如何得到的？
如果是已知的、根据已知的数据计算出来的，就是基于模型的。
如果是取样得到的、试验得到的，就是无模型的。
- 动态规划的计算的，而蒙特卡洛方法的计算是取样性的(sampling)。
注：引导性的(bootstrapping)还是取样性的(sampling)是看(状态或者行动)价值((G, v(s), q(s,a)))是如何计算的？
如果是根据其它的价值计算的，就是引导性的。
如果是通过在实际环境中模拟的、取样的，就是取样性的。
引导性和取样性并不是对立的。可以是取样的，并且是引导的。
如果价值是根据其它的价值计算的，但是有部分值（比如：奖赏）是取样得到的，就是无模型、取样的、引导性的。
解释：
上面两个区别，可以从计算状态价值(v_{pi}(s), q_{pi}(s, a))的过程来看：
动态规划是从初始状态开始，一次计算一步可能发生的所有状态价值，然后迭代计算下一步的所有状态价值。这就是引导性。
蒙特卡洛方法是从初始状态开始，通过在实际环境中模拟，得到一段情节（从头到结束）。
比如，如果结束是失败了，这段情节上的状态节点，本次价值都为0,；如果成功了，本次价值都为1。
下面的比喻（虽然不太恰当，但是比较形象）
想象一棵树，动态规划是先算第一层的所有节点价值，然后算第二层的所有节点价值。
蒙特卡洛方法，随便找一个从根到叶子的路径。根据叶子的值，计算路径上每个节点价值。
可以看出蒙特卡洛方法比较方便。
蒙特卡洛方法的优势
-
蒙特卡洛方法可以从交互中直接学习优化的策略，而不需要一个环境的动态模型。
环境的动态模型 - 似乎表示环境的状态变化是可以完全推导的。表明了解环境的所有知识。
说白了，就是可以计算(v(s), q(s, a))这意味着必须了解所有状态变化的可能性。
蒙特卡洛方法只需要一些（可能是大量的）取样就可以。 -
蒙特卡洛方法可以用于模拟（样本）模型。
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蒙特卡洛方法可以只考虑一个小的状态子集。
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蒙特卡洛方法的每个状态价值计算是独立的。不会影响其他的状态价值。
蒙特卡洛方法的劣势
- 需要大量的探索（模拟）。
- 基于概率的，不是确定性的。