图论

 

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给出一幅n个点，m条边的图，分别判断该图是无向图和有向图条件下，是否存在欧拉通路。

输入

输入包含多组数据。第一行为一个整数T(1 ≤ T ≤ 100)，代表数据组数，对于每组数据： 第一行是两个整数n和m( 1 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ m ≤ n(n − 1)/2 )，分别代表图上点的个数和边的个数。
然后是m行，每行两个整数u_i和v_i ( 1 ≤ u_i, v_i ≤ n, u_i ≠ v_i )，代表图上的一条边所连接的两个点。输入保证没有重边。

输出

首先判断：如果这幅图是无向图，是否存在欧拉通路；
其次判断：如果这幅图是有向图，是否存在欧拉通路。
对于每个判断，如果存在，输出"Yes"，否则输出"No"（不包括引号）。两个判断间用空格隔开。

样例输入

3

2 1
1 2

4 3
1 2
1 3
1 4

4 4
1 2
1 3
1 4
2 3

样例输出

Yes Yes
No No
Yes No

Hint

欧拉通路、欧拉回路、欧拉图
无向图：
1) 设 G 是连通无向图，则称经过 G 的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；
2) 如果欧拉通路是回路 （起点和终点是同一个顶点）， 则称此回路为欧拉回路 （Euler circuit）；
3) 具有欧拉回路的无向图 G 称为欧拉图（Euler graph）。
有向图：
1) 设 D 是有向图， D 的基图连通，则称经过 D 的每条边一次并且仅一次的有向路径为有向欧拉通路；
2) 如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为有向欧拉回路（directed Euler circuit）；
3) 具有有向欧拉回路的有向图 D 称为有向欧拉图（directed Euler graph）。

Extend

欧拉回路打印路径算法：Fleury(佛罗莱)算法

----------------------------------------------------------我是分割线^_^-----------------------------------------------------------------

欧拉通路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路。

欧拉回路: 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路（可以回到原点，就是出发的那个点）。

 

无向图是否具有欧拉通路或回路的判定:

欧拉通路:图连通；图中只有0个或2个度为奇数的节点

欧拉回路:图连通；图中所有节点度均为偶数

 

有向图是否具有欧拉通路或回路的判定:

欧拉通路:图连通；除2个端点外其余节点入度=出度；1个端点入度比出度大1；一个端点入度比出度小1 或 所有节点入度等于出度

欧拉回路:图连通；所有节点入度等于出度

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;

#define Int __int64
#define INF 0x3f3f3f3f

const int MAXN = 555;
int road[MAXN];
int ingrade[MAXN], outgrade[MAXN], grade[MAXN];
int n, m;
int setsum;

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        road[i] = i;
    }
    setsum = n;
    memset(ingrade, 0, sizeof(ingrade));
    memset(outgrade, 0, sizeof(outgrade));
    memset(grade, 0, sizeof(grade));
}

int FindRoot(int rt) {
    return road[rt] == rt ? rt : (road[rt] = FindRoot(road[rt]));
}

int main()
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    int cas;
    while (scanf("%d", &cas) != EOF) {
        while (cas--) {
            scanf("%d %d", &n, &m);
            init();//初始化函数要注意放的位置在哪里
            int u, v;
            for (int i = 1; i <= m; i++) {
                scanf("%d %d", &u, &v);
                ingrade[v]++;
                outgrade[u]++;
                grade[v]++;
                grade[u]++;
                int root1 = FindRoot(u);
                int root2 = FindRoot(v);
                if (root1 != root2) {
                    road[root2] = root1;
                    setsum--;
                }
            }
            if (setsum != 1) {
                printf("No No
");
                continue;
            }
            int ans1 = 0;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (grade[i] % 2 == 1) ans1++;
            }
            if (ans1 == 0 || ans1 == 2) {
                printf("Yes ");
            } else {
                printf("No ");
            }
            bool ans2 = true;
            int door1 = 0, door2 = 0;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (ingrade[i] != outgrade[i]) {
                    if (!door1 && ingrade[i] - outgrade[i] == 1) door1 = 1;
                    else if (!door2 && ingrade[i] - outgrade[i] == -1) {
                        door2 = 1;
                    } else {
                        ans2 = false;
                    }
                }
            }
            if (ans2) printf("Yes
");
            else printf("No
");
        }
    }
    return 0;
}