01背包

2017-10-1719:26:55

01背包是dp入门经典问题，问题的原型是这样的：

给定n个物品，每个物品都有一定的价值和体积 ，  你有一个容积为V 的背包 ， 你要用这个背包装价值尽量大的物品（毕竟白捡，自然是捡的越多越好）。

每件物品只有两种选择：  选  或是 不选  因此这个问题被称为01背包（两个状态）

如果暴力的枚举每个物品的状态，那么每种状态有n次选择，一共有2^n个状态，时间复杂度太高/

实际上 ， 之前枚举的状态可以用来简化后面的选择。

确定一个状态：d[ i ][ j ]  表示用容积为j的背包 处理完前i个物品能的到的最大价值

状态转移：  对于每个物品都有两个选择（选 or 不选） 那么 对于第i个物品  d[ i ] [ j ] = max( d[ i - 1 ] [ j ] , d[ i - 1 ] [ j - v [ i ] ] + w [ i ] )　　　　//  j  from v[i]  to  V 

　　　　　　　　　　　　//前者为不选第i个物品 ，后者是选第i个物品　　v[i] 和 w[i]  分别代表  第i个物品的 体积 和 价值

举个例子：有5个物品  价值分别为 {2,2,6,5,4}  体积分别为{6,3,5,4,6} 状态转移的表

01背包的代码：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=v[i];j<=V;j++)
        d[i][j]=max( d[i-1][j], d[i-1][j-v[i] ] +w[i] );
}

 这个代码的空间复杂度是V*n    状态转移的过程中只有d[i] 和d[i-1] 发生了转移  d[i]  是d[i-1] 的后一个状态

可以用一个一维数组来保存dp的状态 d[j] = max(d[ j ] , d[ j - v[ i ] ] + w[ i ] );

每次更新 都是 用体积较小的先更新 ， 如果用 从前向后的更新方式  会出现一个物品被用多次的情况

所以更新的顺序是 从后向前更新

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=V;j>=v[i];j--)
        d[j]=max(d[j] , d[j- v[i] ] +w[i]);
}

空间复杂度为 O(N)

完全背包    是01背包的问题的变形 ， 区别在于 每件物品的数量是无限的 ， 这个问题和01背包的解法几乎完全一样

状态转移： d[ j ] = max ( d[ j ] , d [ j - c * v[ i ] ] +c * w [ i ] );

区别在于每件物品选了几件 

1 for(int i=1;i<=n;i++)
2 {
3     for(int j=v[i] ; j<V;j++)
4         d[j] = max ( d [ j ]  , d [ j - v [ i ] ]   + w [ i ] ) ;
5 }

 多重背包   ：  指每种物品都有一定的数量 。  可以将其当成01背包来做  物品的数目太多时 如果枚举每件物品时间会花费很长

可以把物品拆分成若干个物品 ， 比如说  把10个重量为 1 的物品拆成  1个重量为1的、1个重量为2的、1个重量为4的、一个重量为3的物品 共logn个物品 且这些物品可以组合成重量在1~n的任一物品。

这样相比第一种方式 多了log级别的优化