UVA 10417 Gift Exchanging

UVA_10417

    如果我们设事件Ai为第1个人带来的是第i类gift，事件B为所有人的gift放一起呈现出题目中给出的每类多少个那种状态。那么P(Ai|B)就对应表示在当前这种状态下第1个人带来的是第i类gift的概率，那么剩下的问题就是把这个概率算出来就好了，然后除以第i类gift的个数就是拿1个第i类的gift且拿成功的概率。

    根据条件概率的公式有P(Ai|B)=P(AiB)/P(B)，P(AiB)表示事件Ai和B同时发生的概率。由于原始gift状态的子状态个数有限，我们可以指定一个放礼物的顺序（或者拿礼物的顺序）然后进行动规来求各个状态的概率即可。

    于是我们不妨规定从第一个人开始，每人拿回去自己的礼物，拿空为止。设f[i][j]表示能达到第i个人面临礼物状态j时这种情况的概率，j不难表示，用13进制即可，剩下就是如何转移状态了，应该有f[i][j]=SUM{g[i][Ai]*f[i-1][j-Ai]}，其中g[i][Ai]为第i个人带来的是Ai这个gift的概率，j-Ai表示第i个人拿走Ai后剩余的gift的状态，并不是直接做减法。

    现在有了达到各个状态的概率了，那么P(AiB)怎么表示呢？应该为g[1][Ai]*f[2][k]，其中g[1][Ai]为第1个人带来的是Ai这个gift的概率，k为第1个人拿走Ai后的剩余gift的状态。P(B)怎么表示呢？应该为f[1][k]，其中k为原始的gift的状态。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXN 13
#define MAXB 6
#define MAXD 350000
int vis[MAXN][MAXD], a[MAXB], b[MAXB], N, M, gift[MAXB];
double f[MAXN][MAXD], g[MAXN][MAXB];
double dfs(int cur, int st)
{
    int i, j, k;
    double ans = 0;
    if(vis[cur][st])
        return f[cur][st];
    k = st;
    for(i = 5; i > 0; i --)
    {
        a[i] = k % 13;
        k /= 13;
    }
    for(i = 1; i <= 5; i ++)
        if(a[i])
        {
            -- a[i];
            for(j = 1, k = 0; j <= 5; j ++)
                k = k * 13 + a[j];
            ans += dfs(cur + 1, k) * g[cur][i];
            ++ a[i];
        }
    vis[cur][st] = 1;
    return f[cur][st] = ans;
}
void solve()
{
    int i, j, k, box;
    double max, ans, res;
    scanf("%d", &N);
    for(i = 1; i <= 5; i ++)
        scanf("%d", &gift[i]);
    for(i = 1; i <= N; i ++)
        for(j = 1; j <= 5; j ++)
            scanf("%lf", &g[i][j]);
    for(i = 1, k = 0; i <= 5; i ++)
        k = k * 13 + gift[i];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    vis[N + 1][0] = 1;
    f[N + 1][0] = 1;
    res = dfs(1, k);
    max = -1;
    for(i = 1; i <= 5; i ++)
        if(gift[i])
        {
            -- gift[i];
            for(j = 1, k = 0; j <= 5; j ++)
                k = k * 13 + gift[j];
            ++ gift[i];
            ans = f[2][k] * g[1][i] / gift[i];
            if(ans / res > max + 1e-9)
            {
                max = ans / res;
                box = i;
            }
        }
    printf("%d %.3lf\n", box, max);
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t --)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}