[SHOI2010]最小生成树
- 前言 真心佩服mwy当场想出网络流算法，蒋神树上解决问题，看来ssw02建图和抽象还是太菜了 -7.13
（天气之子7.19日本上映）
题目大意：
在一个合法的连通图中，每条边都有一个边权，我们钦定一条边。然后对图进行一些操作：将某一条边的权值+1或-1。请问至少多少次后可以使钦定的边出现在该图的最小生成树中。
Luogu传送门：[SHOI2010]最小生成树
解题思路：
说实话：我们一定要跳出题目的局限性，毕竟网络流是属于图算法。
我们考虑，为什么我们钦定的边会不在最小生成树上，很简单，有更多比它更小的边。并且，能够更新我们钦定边的边一定会和我们钦定的边成环（我们考虑kruscal的实现过程，如果想不明白，可以看看 严格次小生成树 ）。
在这道题中更为简单，由上述条件，我们只需要对于每一条比我们钦定边target小的边建立一条权值为
权值 = t[ target ].val - t[ i ].val + 1的流边即可。然后转化为最小割模型即可。
模型转化：
我很想把它提出来讲。
我们既然要找到一条符合的边，那么就是要让最小生成树经过钦定边target，经过的前提就是可以到达target边上两点的其他路径都没有target更优，那么，然这些边增大即可。这样一想，感觉就是让这两点之间的其他路径都比target边的边权大。
我们对这些原本更小的边都计算于target边权的差值，然后跑最小割。
口糊合法性：
1.这些边都小于target的边权，如果更大，那么它本身就不可以能优于target边，就不可能在target之前进入最小生成树
2.由1可知，上述建出的流图中无负边权（流量为负），所以流算法是可行的。（最小割 = 最大流 ）
3.如果target就在原本的最小生成树上，那么流图是不连通的，所以出题人是卡不了的。
注:楼主作死写了HLPP，完全可以用Dinic打，而且LLL优化后还更快一些，当然随机数据HLPP绝对有时间上的优势。
AC code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100010 , inf = ( 1 << 30 ) ;
inline int read()
{
int s = 0,w = 1;
char g = getchar();
while(g<'0'||g>'9'){if(g=='-')w*=-1;g = getchar();}
while(g>='0'&&g<='9'){s = (s<<3)+(s<<1)+g-'0';g = getchar();}
return s*w;
}
int tot = 1 , to[ MAXN ] , nex[ MAXN ] , head[ 10005 ] , w[ MAXN ] , N , M , T , s , target ;
int d[ 10005 ] , e[ 10005 ] , h[ 10005 ] , numh[ MAXN ] ;
bool v[ MAXN ] ;
struct ap{
int from , too , val ;
}t[ MAXN ];
void add( int x , int y , int z ){
tot++; to[ tot ] = y , w[ tot ] = z , nex[ tot ] = head[ x ] , head[ x ] = tot;
tot++; to[ tot ] = x , w[ tot ] = 0 , nex[ tot ] = head[ y ] , head[ y ] = tot;
}
void relabel( int u ){
h[ u ] = inf ;
for( register int i = head[ u ] ; i ; i = nex[ i ] ){
if( w[ i ] && h[ to[ i ] ] < h[ u ] )
h[ u ] = h[ to[ i ] ] + 1 ;
}
}
struct cmp{
inline bool operator () (int a,int b) const{
return h[a]<h[b];
}
};//重载d
priority_queue< int , vector<int> , cmp > q ;
queue< int >Bq;
void bfs(){
for( register int i = 1 ; i <= N ; i ++ )h[ i ] = 1210 ;
h[ T ] = 0 ;
while( !Bq.empty() )Bq.pop();
Bq.push( T ); v[ T ] = true ;
while( !Bq.empty() ){
int u = Bq.front();Bq.pop();
v[ u ] = false ;
for( register int i = head[ u ] ; i ; i = nex[ i ] ){
if( w[ i^1 ] && h[ to[ i ] ] > h[ u ] ){
h[ to[ i ] ] = h[ u ] + 1 ;
if( !v[ to[ i ] ] ){
Bq.push( to[ i ] );
v[ to[ i ] ] = true ;
}
}
}
}
return;
}
void push_(int u){
for( register int i = head[ u ] ; i ; i = nex[ i ]){
if( w[ i ] && h[ to[ i ] ] == h[ u ] - 1 ){
int k = min( w[ i ] , e[ u ] ) ;
w[ i ] -= k , w[ i^1 ] += k ;
e[ u ] -= k , e[ to[ i ] ] += k ;
if( (!v[ to[ i ] ]) && to[ i ] != T && to[ i ] != s ){
q.push( to[ i ] ) ;
v[ to[ i ] ] = true ;
}
if( !e[u] )break;
}
}
}
int HLPP(){//作死使用HLPP
bfs();
if( h[ s ] == ( 1 << 30 ) )return 0;
h[ s ] = N ;
for( register int i = 1 ; i <= N ; i++ )
if( h[ i ] < 20000 )numh[ h[ i ] ]++ ;
for( register int i = head[ s ] ; i ; i = nex[ i ] ){
if( w[ i ] ){
e[ s ] -= w[ i ] , e[ to[ i ] ] += w[ i ] ;
w[ i^1 ] += w[ i ] , w[ i ] = 0;
if( to[ i ] != T && ( !v[ to[ i ] ]) && to[ i ] != s ){
q.push( to[ i ] ) ; v[ to[ i ] ] = true ;
}
}
}
while(!q.empty()){
int u = q.top() ;v[ u ] = false ;
q.pop() ;push_( u ) ;
if( e[ u ] ){
numh[ h[ u ] ]-- ;
if( numh[ h[ u ] ] == 0 ){
for( register int i = 1 ; i <= N ; i++ ){
if( i != s && i != T && h[ i ] > h[ u ] && h[ i ] <= N )
h[ i ] = N + 1 ;
}
}
relabel( u ) ;
numh[ h[ u ] ]++ ;
q.push( u ) ;
v[ u ] = true ;
}
}
return e[ T ] ;
}
void prepare(){
//freopen( "construct.in" , "r" , stdin ) ;
//freopen( "construct.out" , "w" , stdout) ;
}
int main(){
N = read() ; M = read() ; target = read();
for( register int i = 1 ; i <= M ; i++ )t[ i ].from=read(),t[ i ].too=read(),t[i].val=read();
s = t[ target ].from ; T = t[ target ].too ;
for( register int i = 1 ; i <= M ; i++ ){
if( t[ i ].val <= t[target].val && i !=target ){
add( t[ i ].from , t[ i ].too , t[ target ].val - t[ i ].val + 1 ) ;
add( t[ i ].too , t[ i ].from , t[ target ].val - t[ i ].val + 1 ) ;
}
}
cout<<HLPP();
return 0;
}
非常感谢您耐心读完了这篇博客，作者水平有限，本文难免有错误和叙述不精准，还请给为大佬指出，谢谢。