众所周知，网络流是探究网络上运输的一种图论分支。但是大多数人在第一次接触这个题时都有些畏惧感（比如说我），大佬可以自信跳过..
本文包括:
1.网络流的概念及基本性质
2.略谈 Edmonds-Karp增广路算法
3.详谈 Dinic 算法
4.网络流的应用以及ISAP算法引入
1 . 网络流的概念及基本性质
网络流是图论的一种重要分支，我们可以将网络流初步理解为一种 水道 一样的网络。
基本定义： （部分参考《算法竞赛进阶指南》）
对于一个网络 (G = (V , E )) 为一张有向图，图中的每条有向边 $ ( X,Y)∉E $ , 则 $ C(X,Y) = 0 $ 。图中还有两个节点 $ S , T $ 十分特殊，我们将其称为 源点 和 汇点 。
我们将 (f) 函数称作网络的流函数。
对于 ((X,Y)∈E , f(X,Y)) 称为边的流量 ，$ C(X,Y) - f(X,Y)$ 称为边的剩余流量。
知道大佬们都不想看， 那么直接一点。
假设有一片有向的水域，有多条有向的河流，河流都从 (S) 点出发，最终都汇向 $ T$ 点。每条河流有一定的宽度，只允许最多不超过该条河流边权值 的水流通过。
如上图 ，蓝点为源点 ， 红点为汇点。而紫色点和紫色边显然无用，选择不流过紫色。
** 默认 S 点的水量有无限多。 **
在初步了解后，按照流函数的定义，一个网络中的每条边实际上都有一条反向边，并且这些反向边都有一个负的流量， 这个定义将有助于我们解决之后的回溯问题。
基本性质：
1.容量限制
任意一条边的流量必定小于它的容量（及它的边权）。
2.斜对称定理
一条边((X,Y))中 (X) 到 (Y) 的流量必定与其反边((Y,X))中 (Y) 到 (X) 的流量相反。
3.流量守恒定理
除了源点 $ S $ 和 汇点 $ T $外 ，任意节点的 流入总量 都等于 流出总量 。即不会存储流量 。
2.略谈 Edmonds-Karp增广路算法
学习过匈牙利算法的同学已经了解增广路的定义，没有的话建议先 $ A$ 掉P3386 【模板】二分图匹配
，将有利于理解本文（貌似没有关联）。
但是增广路此时的定义为：
一条增广路从源点 (S) 到汇点 (T) 的路径上各边的剩余流量的最小值大于 0 。
而Edmonds-Karp增广路算法（下列简称EK算法）的思路就是对该网络进行BFS，不断找出其增广路，直至将该网络上的所有增广路全部找出。
EK算法的正确性显然，在这里就不给出详细证明。（有兴趣者可参考《算法竞赛进阶指南》）。
EK算法具体实现过程如下：
1 . 用BFS在网络上寻找可行增广路。
2 . 在BFS找到任意一条增广路时计算出该增广路上各边剩余流量的最小值 min 。
3 . 最大流 (maxflow) 的值增加 min ,如此往复直至BFS找不增广路。
给出图 及 图的最大流 7 作参考
代码暂未上传。
但是EK算法存在明显的局限性，及每次更新都要从头到尾BFS一下，只能解决 (O(nm^2)) 的网络。
于是我们又有下面这个经一步优化的算法。
3.详谈 Dinic 算法
之所以详谈Dinic算法，是因为Dinic算法是代码较简单，较容易实现并且效率极高的网络流算法之一，它对于普通的网络图，处理范围可以达到 $ 10^4 - 10^5 $ 。而相比之下，EK算法仅有 $ 10^3 - 10^4 $的处理范围。
并且某位大师推演出Dinic算法在二分图中的复杂度仅有 $m sqrt{n} $ ， 所以可以在二分图中愉快地跑网络流 啦。上一道例题P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏，熟练后可以切了它。
我们先介绍一下Dinic算法的核心之一：残量网。
残量网是指在当前网络中的所有节点以及 ** 剩余容量大于 (0) ** 的边构成的子图。
但是有了残量网还不够，要精准判断残量网上两点 (X,Y) 的关系，即判断它们是否有环之类神奇的边，我们还要借助满足 $d[y] = d[x] + 1 $ 的分层图。
对于分层图的理解，可以把每一层想象成一个有高度的平面，水流从高的平面流向低的平面（见过多重瀑布吗？）
Dinic算法思路：
1 . 开一个队列， 在残量网中BFS一次，按照遍历层数为每个点表上层次 $ d[ x ] $ ，构造分层图并且判断能否从源点 (S) ** 到达汇点 (T)** 。如果失败则说明残量网无法到达汇点。
2 . 在构造好的残量网上DFS寻找增广路并且，更新边及反边，（否则DFS无法后悔）。
3 . 不断重复 1 2 步骤直至构造的残量网无法到达汇点。
实践是检验真理的唯一标准
(AC)代码及讲解：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3 , N = 10000 + 19 ;
int head[ N ], d[ N ] , to[ N*10*2 ] , w[ N*10*2 ] , next[ N*10*2 ] ;
int n , m , s, t , tot = 1 , maxflow = 0 ;//maxflow记录答案
inline int read()
{
int s = 0,w = 1;
char g = getchar();
while(g<'0'||g>'9'){if(g=='-')w*=-1;g = getchar();}
while(g>='0'&&g<='9'){s = s*10+g-'0';g = getchar();}
return s*w;
}
queue<int> q ;//广搜时采用队列
void add( int x , int y , int z ){
tot++; to[ tot ] = y , w[ tot ] = z , next[ tot ] = head[ x ] , head[ x ] = tot;
tot++; to[ tot ] = x , w[ tot ] = 0 , next[ tot ] = head[ y ] , head[ y ] = tot;
}//建立边和反向边，注意反向边的流量初始为 0
bool bfs(){//在残量网络上构造分层图
memset( d , 0 , sizeof(d) ) ; //将之前的分层清0，继续跑残量网络找可行增广路
while( q.size() ) q.pop() ; //队列清 0 ;
q.push( s ) ; d[ s ] = 1 ; //将源点加入队列，层数为 1 ，开始广搜
while( q.size() ){
int x = q.front() ; q.pop() ;
for( int i = head[ x ] ; i ; i = next[ i ])
if( w[ i ] && !d[ to[i] ] ){//目标边的流量不为0 且 为被遍历分层
q.push( to[ i ] ) ;
d[ to [ i ] ] = d[ x ] + 1;
if( to[ i ] == t )return 1 ; //找到一条可行增广路
}
}
return 0 ;//未找到，不存在增广路
}
int dinic( int x , int flow ){ //在分层图上进行增广
if( x == t )return flow ;//源点即使汇点，流量不限量
int rest = flow , k ;
for( int i = head[ x ] ; i && rest ; i = next[ i ] )//当前可流入最大流量不为0 ,
if( w[ i ] && d[ to [ i ] ] == d[ x ] + 1 ){//目标路径有剩余流量，且不存在环之类神奇的东西
k = dinic( to[ i ] , min( rest , w[ i ] ) );//继续搜
if( !k )d[ to [ i ] ] = 0 ; //剪枝，如果 k(下一层可流入流量图为 0 )，cut
w[ i ] -= k ;
w[ i ^ 1 ] += k ;//占用k流量，注意反边要加上k，不然无法退回
rest -= k ; //当前节点的剩余汇入流量-k;
}
return flow - rest ; //递归完成
}
int main()
{
n = read() , m = read() , s = read() , t = read() ;
for( int i = 1 ; i <= m ; ++i ){
int x = read() , y = read() , L = read() ;
add( x , y , L ) ;
}
int flow = 0 ;
while( bfs() ){//存在增广路
while( flow = dinic ( s , inf ))maxflow += flow ;
}
printf("%d",maxflow) ;
return 0 ;
}
Dinic算法一定要手敲一遍板子，不然你连错在哪都查不出来（除了机对）。
对于无向图，我们在建边的时候要小心，把反边流量赋值！ 建双边 ！
附上我的另一篇有关网络流实例讲解的题解 P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏
4.网络流的应用以及ISAP算法引入
ISAP算法是EK算法的另一类优化， ISAP算法只需一次BFS即可，但代码难度远远高于Dinic算法。
ISAP算法复杂度在非二分图上高于Dinic算法，在二分图则不如Dinic算法。
在此暂时不详讲，日后会更新ISAP算法详解。
网络流的应用
网络流应用较广， 但建议新手按以下顺序A题，熟练算法和增强应用能力。
最后是网络流24题
费用流学习请见：网络流初步详解2
网络流深入请见这位大佬：网络流深入
本文到此结束，若有不足，恳请大佬指出。
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