斜率优化·学习笔记

({huge{Step\,1\,一点小转化}})
事实上斜率优化是专门用来处理这样一类(dp)式子的

[dpi=Ai+maxj=1i−1(Bj−Cj×basei) ]

窝萌尝试把上式中的(Bj)、(Cj)和(basei)等价成(xj)、(yj)和(ki)，并把它们丢到一个平面上,然后它萌就会变成一堆点((xj,yj))，画一条过他们的直线，类似于

[y−yj=ki(x−xj) ]

变换一下

[y=kix+(yj+xj) ]

窝萌会发现，现在窝萌所求的不过是一条截距最大的直线而已。那么其实就是相当于求一个给定(k)意义下最靠上的点。

(qwq)那么窝萌不妨先减弱问题的不可做性，使其单调——令(x)单调增、(ki)单调减。

那当窝萌在朴素(Dp)遍历所有的(ki)时，所得到的直线的轨迹应该是这样的:

（上图是个(GIF)……不动的话就拖出来看吧）轨迹正好是一个凸壳，并且你会发现它的轨迹正好是再绕着每个斜率下最优的点旋转。

有个神犇对此是这么解释的：

可以发现好多点是没有机会作为最优的点的。

形象⼀点的说，如果⼀个点的左边和右边某两个点在它上⽅“搭起”了⼀条线段，那么它就永远不会被选到。

而因为我们保证了(x)和(k)的单调性，所以就我们可以比较方便的考虑“如何选取当前最优点”这个问题。我们考虑遇到一个新的点，是否把他加入最优解集合里面，其实质就是维护一个上凸壳。那么已知两个点(A)和(B)，现在遇到了新加入的点(C)，此时有两种情况：

1、(BC)的斜率大于(AB)的斜率
这时我们需要抛弃(B)，直接连接(AC)：

2、(BC)的斜率小于(AB)的斜率
通过这种方式我们就可以完成对整个凸壳的维护。而在判定时也很简单，用叉积来判断即可，即有(A)、(B)、(C)三个点分别是((xA,yA),(xB,yB),(xC,yC))满足(xA≤xB≤xC)，那么如果

[(xC−xA)(yB−yA)−(xB−xA)(yC−yA)<0 ]

则证明是第一种情况，否则是第二种。

(emmmm)直接求斜率当然也是可以的吧，不过会不会很慢很麻烦啊(qwq)。

({huge{Step\,2\,代码实现以及拓展}})
(emmm)我们考虑用一个逻辑上单调的队列来实现去掉不优的状态 +加入新的状态。回归上题，我们所求的是(max)，所以我们需要去掉那些斜率小的状态；同时需要加入斜率大的状态。由于整个过程牵扯到前后删点，所以用双端队列来维护。本蒟蒻的（伪）代码如下：

int queue[MAXN] ;
int head = 0, tail = 0 ;
for(i = 1; i <= N; i ++){
    while (1){
        A = queue[head], B = queue[head + 1] ;
        if (y[A] - k[i] * x[A] < y[B] - k[i] * x[B]) head ++ ;
        else break ;
    }
    dp[i] = base[i] + y[A] - k[i] * x[A] ;
    Maybe y[i] needs calcing ?
    Maybe x[i] also needs calcint ?
    So, Calc_it() ;
    while (tail - head >= 2){
        A = queue[tail - 1], B = queue[tail] ;
        if ((y[i] - y[A]) * (x[B] - x[A])
          - (x[i] - x[A]) * (y[B] - y[A]) > 0) 
            tail-- ;
        else break ;
    }
    queue[++ tail] = i ;
}

对了……我在啃这个地方时出了个(bug)……那是因为我一直以为(y)和(x)从本质上来讲有(n^2)个……(Orz)
那么对于拓展而言，我们以上做的一切都是基于“(x)和(k)单调”这一前提的，那么还会有以下两种情况：

1、(x)不单调

那么实质上就是我们需要动态插入删除、从内部删除，那么就需要用平衡树来维护一个凸包了 。

2、(k)不单调

那么实质上就是我们原来比较方便的第一个(while)——从左往右直接删是不行的了，因为现在不优不代表之后不优，所以此时我们需要的就是三分一个位置而不是从前向后扫、

哦，还有，对于(dp)式子而言，如果它长这个样子：

[dpi=Ai+minj=1i−1(Bj−Cj×basei) ]

那么其实我们维护的就是一个下凸壳，所以此时只需要把所有的大于号改成小于号即可。