向量
列向量表示为右矢（bracket中的ket）
\[\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
v_0 \\
v_1 \\
\cdots \\v_n
\end{bmatrix}=|\mathbf{v}\rangle\]
行向量表示为左矢（bracket中的bra）
\[\langle \mathbf{v}|=\mathbf{v}^{\text{T}}=\begin{bmatrix}
v_0& v_1 & ... & v_n \\
\end{bmatrix}
\]
分量形式是
\[|\mathbf{\psi}_n\rangle=\sum_{0}^{2^n-1}a_i|i\rangle
\]
希尔伯特空间是一个带有内积的完备向量空间，将有限维欧几里得空间推广等到了复数域并依然具备完备性（其他非欧空间一般不具备完备性）。关于向量空间的概念可以查看我在简书的文章。
\[|\Psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle=\begin{bmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{bmatrix}
\text{with } \alpha,\beta\in\mathbb{C}
\]
两个最简单的狄拉克表示就是
\[|1\rangle=\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
\]
\[|0\rangle=\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
\]
注意不要把他们记反。
内积和范数
关于什么是向量内积和范数可以查看我之前的文章，记住内积是一个标量。
\[\langle \mathbf{x}|\mathbf{y}\rangle=
\begin{bmatrix}\mathbf{x},\mathbf{y}\end{bmatrix}=\begin{pmatrix} \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots , \mathbf{x_n}\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf{y_1}\\ \mathbf{y_2}\\ \cdots \\ \mathbf{y_n}\ \end{pmatrix}=\mathbf{x^T\ y}
\]
范数就是向量自身内积的算术平方根：
\[\left | \left | |\mathbf{x}\rangle \right | \right |=\sqrt{\begin{bmatrix}\mathbf{x},\mathbf{x}\end{bmatrix}}=\sqrt{\mathbf{x}_1^2+\mathbf{x}_2^2+\cdots+\mathbf{x}_n^2}
\]
外积
内积的计算叫“点乘”，外积的计算叫“叉乘”。在标量计算时，他俩计算结果一样。在计算向量外积时才有差别：
\[|\mathbf{v}\rangle \bigotimes \langle\mathbf{u}|=
|\mathbf{v}\rangle \langle\mathbf{u}|=
\begin{bmatrix}
v_0 \\
v_1\\
\cdots\\
v_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_0 &
u_1&
\cdots&
u_m
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
v_0 u_0 &v_1 u_1&\cdots&v_0 u_m\\
v_1 u_0&v_1 u_1&\cdots&v_1 u_m\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
v_n u_0&v_n u_1&\cdots&v_n u_m
\end{bmatrix}
\]
可见外积的乘号可以省略。最简单的外积：
\[\begin{bmatrix}
0 &0\\
0&1
\end{bmatrix}=|\mathbf{1}\rangle \langle\mathbf{1}|
\]
张量积
张量积实际上也是外积，上面的外积是列向量和行向量相乘，张量积一般是列向量和列向量相乘。
外积是一个数学概念，张量积一般用在复合物理系统中，表示这个系统的状态空间，得到的是一个更大的列向量
\[|\mathbf{v}\rangle \bigotimes |\mathbf{u}\rangle=|\mathbf{v}\rangle|\mathbf{u}\rangle=|\mathbf{vu}\rangle
\]
比如：
\[|\mathbf{01}\rangle=\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}\bigotimes \begin{bmatrix}
0\\
1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\
1\\0\\
0
\end{bmatrix}
\]
\[|\mathbf{101}\rangle=\begin{bmatrix}
0\\
1
\end{bmatrix}\bigotimes\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}\bigotimes \begin{bmatrix}
0\\
1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0&0&
0&
1&0&
0
\end{bmatrix}^\text{T}
\]
\[|\mathbf{0}\rangle \bigotimes \frac{|\mathbf{0}\rangle+|\mathbf{1}\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{|\mathbf{00}\rangle+|\mathbf{01}\rangle}{\sqrt{2}}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}&
\frac{1}{\sqrt{2}}&
0&
0
\end{bmatrix}^\text{T}
\]
总结下：内积是左矢和右矢，外积是右矢和左矢，张量积是右矢和右矢；内积是一个标量，外积是一个矩阵，张量积是一个向量。
结合律和交换律
\[(|\mathbf{v}\rangle\langle\mathbf{u}|)|\mathbf{w}\rangle=|\mathbf{v}\rangle\langle\mathbf{u}|\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u}|\mathbf{w}\rangle|\mathbf{v}\rangle
\]
量子叠加
\[|\Psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle=\begin{bmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{bmatrix}
\text{with } \alpha,\beta\in\mathbb{C}
\]
\[\alpha^2+\beta^2=1
\]
比如：
\[|\mathbf{+}\rangle = \frac{|\mathbf{0}\rangle+|\mathbf{1}\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
\]
\[|\mathbf{-}\rangle = \frac{|\mathbf{0}\rangle-|\mathbf{1}\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1 \\
-1
\end{bmatrix}
\]
对于3位qubit系统：
\[|\psi_2\rangle=a_0|000\rangle+a_1|001\rangle+a_2|010\rangle+a_3|011\rangle+a_4|100\rangle+a_5|101\rangle+a_6|110\rangle+a_7|111\rangle
\]
这个系统的状态向量是8种状态的线性和，形式上看，系数\(a\)的下标就是狄拉克记号中三个向量组成的数字对应的二进制代表的十进制值。你去回顾一下，记号中有多个向量，表示的是它们的张量积。所以你可以把它们的张量分别算出来，应该是这样的：
\[|\psi_2\rangle=a_0\begin{bmatrix}1 \\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}
+a_1\begin{bmatrix}0 \\1\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}
+a_2\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}
+a_3\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}
+a_4\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}
+a_5\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\1\\0\\0\end{bmatrix}
+a_6\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\1\\0\end{bmatrix}
+a_7\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\1\end{bmatrix}
\]