机器学习数学基础（一）

目录

• 标量、向量、矩阵、张量
• 张量和矩阵的区别
• 向量和矩阵的范数
  • 向量的范数
  • 矩阵的范数
• 矩阵的正定

标量、向量、矩阵、张量

标量（scalar) 一个标量表示一个单独的数。它不同于线性代数中研究的其他大部分对象（通常是多个数的数组）。我们用斜体表示标量。标量通常被赋予小写的变量名称。

向量（vector） 一个向量表示一组有序排列的数。通过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常我们赋予向量粗体的小写变量名称。向量中的元素可以通过带脚标的斜体表示，向量 (X) 的第 (i) 个元素是 (X_i)。我们也会注明存储在向量中的元素的类型，实数、虚数等。

矩阵（matrix） 矩阵是具有相同特征和纬度的对象的集合，表现为一张二维数据表。其意义是一个对象表示为矩阵中的一行，一个特征表示为矩阵中的一列，每个特征都有数值型的取值。通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如 (A) 。

张量（tensor） 一般地，一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中，我们将其称之为张量。使用 (A) 来表示张量“A”。张量 (A) 中坐标为 ((i,j,k)) 的元素记作(A_{(i,j,k)}) 。

四者之间的关系 标量是 (0) 阶张量，向量是 (1) 阶张量。

张量和矩阵的区别

• 从代数角度讲， 矩阵它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列），那么 (n) 阶张量就是所谓的 (n) 维的“表格”。张量的严格定义是利用线性映射来描述。
• 从几何角度讲， 矩阵是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。
• 张量可以用 (3 imes 3) 矩阵形式来表示。
• 表示标量的数和表示矢量的三维数组也可分别看作 (1 imes 1) ，(1 imes 3) 的矩阵。

向量和矩阵的范数

向量的范数

定义向量 (vec{a} = [-5, 6,8,-10]) 。设任意一组向量为 (vec{x} = (x_1, x_2, cdots, x_N)) 。

• 向量的 (1) 范数 向量的各个元素的绝对值之和。上述向量 (vec{a}) 的 (1) 范数结果就是 (29) 。

[Vert vec{x} Vert_1 = sum_{i = 1}^{N} |x_i| ]

• 向量的 (2) 范数 向量的每个元素的平方和再开平方根。上述向量 (vec{a}) 的 (2) 范数结果就是 (15) 。

[Vert vec{x} Vert_2 = sqrt{sum_{i = 1}^{N}|x_i|^2} ]

• 向量的负无穷范数 向量的所有元素的绝对值中最小的。上述向量 (vec{a}) 的负无穷范数结果就是 (5) 。

[Vert vec{x} Vert_{-infty} = min |x_i| ]

• 向量的正无穷范数 向量的所有元素的绝对值中最大的。上述向量 (vec{a}) 的负无穷范数结果就是 (10) 。

[Vert vec{x} Vert_{+infty} = max |x_i| ]

• 向量的 (p) 范数

[L_p = Vert vec{x} Vert_p = sqrt[p]{sum_{i = 1}^{N}|x_i|^p} ]

矩阵的范数

定义矩阵 (A=[-1, 2, -3; 4, -6, 6]) 。 任意矩阵定义为 (A_{m imes n}) ，其元素为 (a_{ij}) 。矩阵的范数定义为如下，当向量取不同范数时, 相应得到了不同的矩阵范数。

[Vert{A}Vert_p :=sup_{x eq 0}frac{Vert{Ax}Vert_p}{Vert{x}Vert_p} ]

【注】： (sup E) 指集合 (E) 的上确界，即大于或等于 (E) 的所有其他元素的最小元素， 这个数不一定在集合 (E) 中。

• 矩阵的 (1) 范数（列范数） 矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的。即列和的最大值。上述矩阵 (A) 的 (1) 范数先得到 ([5,8,9]) ，再取最大的最终结果 (9) 。

[Vert AVert_1=max_{1le jle n}sum_{i=1}^m|{a_{ij}}| ]

• 矩阵的 (2) 范数 矩阵 (A^TA) 的最大特征值开平方根，上述矩阵 (A) 的 (2) 范数得到的最终结果是 (10.0623) 。 其中， (lambda_{max}(A^T A)) 为 (A^T A) 的特征值绝对值的最大值。

[Vert AVert_2=sqrt{lambda_{max}(A^T A)} ]

• 矩阵的无穷范数（行范数） 矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的。即行和的最大值。上述矩阵 (A) 的 (1) 范数先得到 ([6；16]) ，再取最大的最终结果就是 (16) 。

[Vert AVert_{infty}=max_{1le i le m}sum_{j=1}^n |{a_{ij}}| ]

• 矩阵的核范数 矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵 (A) 最终结果就是 (10.9287) 。

• 矩阵的 (L0) 范数 矩阵的非 (0) 元素的个数，通常用它来表示稀疏，(L0) 范数越小 (0) 元素越多，也就越稀疏。上述矩阵 (A) 最终结果就是 (6) 。

• 矩阵的 (L1) 范数 矩阵中的每个元素绝对值之和，它是 (L0) 范数的最优凸近似，因此它也可以表示稀疏。上述矩阵 (A) 最终结果就是 (22) 。

• 矩阵的 (F) 范数 矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的 (L2) 范数，它的优点在它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算。上述矩阵 (A) 最终结果就是 (10.0995) 。

[Vert AVert_F=sqrt{(sum_{i=1}^msum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^2)} ]

• 矩阵的 (L21) 范数 矩阵先以每一列为单位，求每一列的 (F) 范数（也可认为是向量的 (2) 范数），然后再将得到的结果求 (L1) 范数（也可认为是向量的 (1) 范数），很容易看出它是介于 (L1) 和 (L2) 之间的一种范数。上述矩阵 (A) 最终结果就是 (17.1559) 。

• 矩阵的 (p) 范数

[Vert AVert_p=sqrt[p]{(sum_{i=1}^msum_{j=1}^n{| a_{ij}|}^p)} ]

矩阵的正定

如何判断一个矩阵为正定 ？

• 顺序主子式全大于 (0) ；
• 存在可逆矩阵 (C) 使 (C^TC) 等于该矩阵；
• 正惯性指数等于 (n) ；
• 合同于单位矩阵 (E) ，即规范形为 (E) ；
• 标准形中主对角元素全为正；
• 特征值全为正；
• 是某基的度量矩阵。