前缀和优化
解决问题 如果dp转移过程中需要反复的使用一个求和式时，可以将数列的前缀和先预处理出来。运算一般要满足可减性。
题目
单调队列优化
前置技能 单调队列（经典问题模型：P1886 滑动窗口 题解）
解决问题 优化形如 (f_i = min/max{ g_j | l_i le j le i - 1 } + w_i) ，且满足 (l_i le l_{i+1}) 的转移。
解释 对于序列中的每个点，从其左侧一段决策区间内的最值进行转移，且决策区间随着序列下标的增大也不断右移，类似于窗口向右滑动。
解法 设 (j<k) ，容易发现如果 (g_j) 劣于 (g_k) 的话，那么当决策区间移动到 (k) 以后， (j) 永远不会成为最优决策点，再也不会被转移使用了。所以，我们要维护一个队列，满足下标递增，决策性递减。我们需要当前的队首成为最优决策点，那么当队首第一次超出了区间范围（以后也就永远超出了）就把它出队。为了保证单调性，队尾新加入点之前，要先把队列中比它劣的点依次从队尾出队。
题目
决策单调性
解决问题 发现决策之间的递变规律。
- 优化形如 (f_i = min/max w_{i,j}) 且对于每个 (i) 和它的最优决策点 (j) 都有单调性的转移方程。这类问题一般对题目的性质要求较高，因为 (j) 是独立的。只需要维护指针，按照单调性不断寻找最优答案即可。类似于尺取法。
- 形如(f_i = min/max{ g_j | 1 le j le i - 1 } + w_{i,j})，且 (f_i) 的最优决策点为 (p_i) ，也就是 (f_i) 从 (g_{p_i} + w_{i,p_i}) 处转移最优。若满足 (p_i le p_{i + 1}) ，则该方程满足决策单调性。因为 (j) 不独立了，所以我们只能把有用的决策先存起来。使用如下策略。
策略1：二分栈
使用决策二分栈，一种单调栈来维护所有有用的决策。
二分栈 我们将 (g_j + w_{i,j}) 视为关于 (j) 的函数。因为决策单调，所以对于栈中的任意相邻两个决策点，我们都可以通过二分找到一个临界值 (k) ，使得序列中在 (k) 之前的时候，其中一个作为决策转移到 (f_k) 更优，而 (k) 以后另一个更优。
栈顶为当前的最优解。而如果栈中有不止一个元素，则可能存在一个 (i) ，使得到 (i) 之后栈里面的决策比栈顶优了，这时就需要弹栈。对于当前的 (i) ，如果当前栈顶下面与栈顶相邻的决策在 (i) 之前就比栈顶更优了，就要把栈顶弹掉。
策略2：分治
二分栈存在局限性，那就是必须能快速计算 (w_{i,j}) 。如果不能 (O(1)) 计算的话，在求临界值 (k) 的时候复杂度会严重退化。
由于转移过程是单调并且离线的，我们考虑分治。假设当前我们求解一段区间 (f_{l,r}) ，而所有 (f_{l,r}) 的最优决策点在 ([L,R]) 之间。对于 ([l,r]) 的中点 (mid) ，我们可以暴力扫一遍 (L−mid) ，找到它的最优决策点 (k)。因为决策单调，所以 (f_{l,mid−1}) 的决策落在 ([L,k]) 上，而 (f_{mid+1,r}) 的决策落在 ([k,R]) 上，变成了两个规模减半的小问题。时间复杂度为 (O(nlog n))。
斜率优化
形如 (f_i = min/max{ g_j | 1 le j le i - 1 } + w_{i,j}) 的转移方程式。
考虑决策 (j_1) 和 (j_2) ，如果 (j_1) 比 (j_2) 优，那么 (g_{j_1} + w_{i, j_1} le g_{j_2} + w_{i, j_2}) 。
根据题目将 (w) 展开，如果可以化为 (frac{y_{j_1}-y_{j_2}}{x_{j_1}-x_{j_2}} le k_i) 的形式，那么我们把每个决策点看成 ((x_j,y_j)) 分布在坐标系上，真正使用到的决策点形成的一个凸壳。
如果 (x) 单调，可以用单调栈维护凸壳，转移时使用当前直线的斜率（线性规划），在栈内二分最优解。
如果斜率 (k) 单调，那么用单调队列维护凸壳，队首为当前最优决策。转移之前如果队首不优就出队。