希尔排序

概要

本章介绍排序算法中的希尔排序。内容包括：
1. 希尔排序介绍
2. 希尔排序图文说明
3. 希尔排序的时间复杂度和稳定性
4. 希尔排序实现
4.1 希尔排序C实现
4.2 希尔排序C++实现
4.3 希尔排序Java实现

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希尔排序介绍

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种，它是针对直接插入排序算法的改进。该方法又称缩小增量排序，因DL．Shell于1959年提出而得名。

希尔排序实质上是一种分组插入方法。它的基本思想是：对于n个待排序的数列，取一个小于n的整数gap(gap被称为步长)将待排序元素分成若干个组子序列，所有距离为gap的倍数的记录放在同一个组中；然后，对各组内的元素进行直接插入排序。这一趟排序完成之后，每一个组的元素都是有序的。然后减小gap的值，并重复执行上述的分组和排序。重复这样的操作，当gap=1时，整个数列就是有序的。

希尔排序图文说明

希尔排序代码(一)

/*
 * 希尔排序
 *
 * 参数说明：
 *     a -- 待排序的数组
 *     n -- 数组的长度
 */
void shell_sort1(int a[], int n)
{
    int i,j,gap;

    // gap为步长，每次减为原来的一半。
    for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
    {
        // 共gap个组，对每一组都执行直接插入排序
        for (i = 0 ;i < gap; i++)
        {
            for (j = i + gap; j < n; j += gap) 
            {
                // 如果a[j] < a[j-gap]，则寻找a[j]位置，并将后面数据的位置都后移。
                if (a[j] < a[j - gap])
                {
                    int tmp = a[j];
                    int k = j - gap;
                    while (k >= 0 && a[k] > tmp)
                    {
                        a[k + gap] = a[k];
                        k -= gap;
                    }
                    a[k + gap] = tmp;
                }
            }
        }

    }
}

在上面的希尔排序中，首先要选取步长gap的值。选取了gap之后，就将数列分成了gap个组，对于每一个组都执行直接插入排序。在排序完所有的组之后，将gap的值减半；继续对数列进行分组，然后进行排序。重复这样的操作，直到gap<0为止。此时，数列也就是有序的了。

为了便于观察，我们将希尔排序中的直接插入排序独立出来，得到代码(二)。

希尔排序代码(二)

/*
 * 对希尔排序中的单个组进行排序
 *
 * 参数说明：
 *     a -- 待排序的数组
 *     n -- 数组总的长度
 *     i -- 组的起始位置
 *     gap -- 组的步长
 *
 *  组是"从i开始，将相隔gap长度的数都取出"所组成的！
 */
void group_sort(int a[], int n, int i,int gap)
{
    int j;

    for (j = i + gap; j < n; j += gap) 
    {
        // 如果a[j] < a[j-gap]，则寻找a[j]位置，并将后面数据的位置都后移。
        if (a[j] < a[j - gap])
        {
            int tmp = a[j];
            int k = j - gap;
            while (k >= 0 && a[k] > tmp)
            {
                a[k + gap] = a[k];
                k -= gap;
            }
            a[k + gap] = tmp;
        }
    }
}

/*
 * 希尔排序
 *
 * 参数说明：
 *     a -- 待排序的数组
 *     n -- 数组的长度
 */
void shell_sort2(int a[], int n)
{
    int i,gap;

    // gap为步长，每次减为原来的一半。
    for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
    {
        // 共gap个组，对每一组都执行直接插入排序
        for (i = 0 ;i < gap; i++)
            group_sort(a, n, i, gap);
    }
}

下面以数列{80,30,60,40,20,10,50,70}为例，演示它的希尔排序过程。

第1趟：(gap=4)

当gap=4时,意味着将数列分为4个组： {80,20},{30,10},{60,50},{40,70}。对应数列： {80,30,60,40,20,10,50,70}
对这4个组分别进行排序，排序结果： {20,80},{10,30},{50,60},{40,70}。对应数列： {20,10,50,40,80,30,60,70}

第2趟：(gap=2)

当gap=2时,意味着将数列分为2个组：{20,50,80,60}, {10,40,30,70}。对应数列： {20,10,50,40,80,30,60,70}
注意：{20,50,80,60}实际上有两个有序的数列{20,80}和{50,60}组成。
{10,40,30,70}实际上有两个有序的数列{10,30}和{40,70}组成。
对这2个组分别进行排序，排序结果：{20,50,60,80}, {10,30,40,70}。对应数列： {20,10,50,30,60,40,80,70}

第3趟：(gap=1)

当gap=1时,意味着将数列分为1个组：{20,10,50,30,60,40,80,70}
注意：{20,10,50,30,60,40,80,70}实际上有两个有序的数列{20,50,60,80}和{10,30,40,70}组成。
对这1个组分别进行排序，排序结果：{10,20,30,40,50,60,70,80}

希尔排序的时间复杂度和稳定性

希尔排序时间复杂度
希尔排序的时间复杂度与增量(即，步长gap)的选取有关。例如，当增量为1时，希尔排序退化成了直接插入排序，此时的时间复杂度为O(N²)，而Hibbard增量的希尔排序的时间复杂度为O(N^3/2)。

希尔排序稳定性
希尔排序是不稳定的算法，它满足稳定算法的定义。对于相同的两个数，可能由于分在不同的组中而导致它们的顺序发生变化。
算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！

希尔排序实现

希尔排序C实现
实现代码(shell_sort.c)

  1 /**
  2  * 希尔排序：C 语言
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/11
  6  */
  7 
  8 #include <stdio.h>
  9 
 10 // 数组长度
 11 #define LENGTH(array) ( (sizeof(array)) / (sizeof(array[0])) )
 12 
 13 /*
 14  * 希尔排序
 15  *
 16  * 参数说明：
 17  *     a -- 待排序的数组
 18  *     n -- 数组的长度
 19  */
 20 void shell_sort1(int a[], int n)
 21 {
 22     int i,j,gap;
 23 
 24     // gap为步长，每次减为原来的一半。
 25     for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
 26     {
 27         // 共gap个组，对每一组都执行直接插入排序
 28         for (i = 0 ;i < gap; i++)
 29         {
 30             for (j = i + gap; j < n; j += gap) 
 31             {
 32                 // 如果a[j] < a[j-gap]，则寻找a[j]位置，并将后面数据的位置都后移。
 33                 if (a[j] < a[j - gap])
 34                 {
 35                     int tmp = a[j];
 36                     int k = j - gap;
 37                     while (k >= 0 && a[k] > tmp)
 38                     {
 39                         a[k + gap] = a[k];
 40                         k -= gap;
 41                     }
 42                     a[k + gap] = tmp;
 43                 }
 44             }
 45         }
 46 
 47     }
 48 }
 49 
 50 /*
 51  * 对希尔排序中的单个组进行排序
 52  *
 53  * 参数说明：
 54  *     a -- 待排序的数组
 55  *     n -- 数组总的长度
 56  *     i -- 组的起始位置
 57  *     gap -- 组的步长
 58  *
 59  *  组是"从i开始，将相隔gap长度的数都取出"所组成的！
 60  */
 61 void group_sort(int a[], int n, int i,int gap)
 62 {
 63     int j;
 64 
 65     for (j = i + gap; j < n; j += gap) 
 66     {
 67         // 如果a[j] < a[j-gap]，则寻找a[j]位置，并将后面数据的位置都后移。
 68         if (a[j] < a[j - gap])
 69         {
 70             int tmp = a[j];
 71             int k = j - gap;
 72             while (k >= 0 && a[k] > tmp)
 73             {
 74                 a[k + gap] = a[k];
 75                 k -= gap;
 76             }
 77             a[k + gap] = tmp;
 78         }
 79     }
 80 }
 81 
 82 /*
 83  * 希尔排序
 84  *
 85  * 参数说明：
 86  *     a -- 待排序的数组
 87  *     n -- 数组的长度
 88  */
 89 void shell_sort2(int a[], int n)
 90 {
 91     int i,gap;
 92 
 93     // gap为步长，每次减为原来的一半。
 94     for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
 95     {
 96         // 共gap个组，对每一组都执行直接插入排序
 97         for (i = 0 ;i < gap; i++)
 98             group_sort(a, n, i, gap);
 99     }
100 }
101 
102 void main()
103 {
104     int i;
105     int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70};
106     int ilen = LENGTH(a);
107 
108     printf("before sort:");
109     for (i=0; i<ilen; i++)
110         printf("%d ", a[i]);
111     printf("
");
112 
113     shell_sort1(a, ilen);
114     //shell_sort2(a, ilen);
115 
116     printf("after  sort:");
117     for (i=0; i<ilen; i++)
118         printf("%d ", a[i]);
119     printf("
");
120 }

View Code

希尔排序C++实现
实现代码(ShellSort.cpp)

  1 /**
  2  * 希尔排序：C++
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/11
  6  */
  7 
  8 #include <iostream>
  9 using namespace std;
 10 
 11 /*
 12  * 希尔排序
 13  *
 14  * 参数说明：
 15  *     a -- 待排序的数组
 16  *     n -- 数组的长度
 17  */
 18 void shellSort1(int* a, int n)
 19 {
 20     int i,j,gap;
 21 
 22     // gap为步长，每次减为原来的一半。
 23     for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
 24     {
 25         // 共gap个组，对每一组都执行直接插入排序
 26         for (i = 0 ;i < gap; i++)
 27         {
 28             for (j = i + gap; j < n; j += gap) 
 29             {
 30                 // 如果a[j] < a[j-gap]，则寻找a[j]位置，并将后面数据的位置都后移。
 31                 if (a[j] < a[j - gap])
 32                 {
 33                     int tmp = a[j];
 34                     int k = j - gap;
 35                     while (k >= 0 && a[k] > tmp)
 36                     {
 37                         a[k + gap] = a[k];
 38                         k -= gap;
 39                     }
 40                     a[k + gap] = tmp;
 41                 }
 42             }
 43         }
 44 
 45     }
 46 }
 47 
 48 /*
 49  * 对希尔排序中的单个组进行排序
 50  *
 51  * 参数说明：
 52  *     a -- 待排序的数组
 53  *     n -- 数组总的长度
 54  *     i -- 组的起始位置
 55  *     gap -- 组的步长
 56  *
 57  *  组是"从i开始，将相隔gap长度的数都取出"所组成的！
 58  */
 59 void groupSort(int* a, int n, int i,int gap)
 60 {
 61     int j;
 62 
 63     for (j = i + gap; j < n; j += gap) 
 64     {
 65         // 如果a[j] < a[j-gap]，则寻找a[j]位置，并将后面数据的位置都后移。
 66         if (a[j] < a[j - gap])
 67         {
 68             int tmp = a[j];
 69             int k = j - gap;
 70             while (k >= 0 && a[k] > tmp)
 71             {
 72                 a[k + gap] = a[k];
 73                 k -= gap;
 74             }
 75             a[k + gap] = tmp;
 76         }
 77     }
 78 }
 79 
 80 /*
 81  * 希尔排序
 82  *
 83  * 参数说明：
 84  *     a -- 待排序的数组
 85  *     n -- 数组的长度
 86  */
 87 void shellSort2(int* a, int n)
 88 {
 89     int i,gap;
 90 
 91     // gap为步长，每次减为原来的一半。
 92     for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
 93     {
 94         // 共gap个组，对每一组都执行直接插入排序
 95         for (i = 0 ;i < gap; i++)
 96             groupSort(a, n, i, gap);
 97     }
 98 }
 99 
100 int main()
101 {
102     int i;
103     int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70};
104     int ilen = (sizeof(a)) / (sizeof(a[0]));
105 
106     cout << "before sort:";
107     for (i=0; i<ilen; i++)
108         cout << a[i] << " ";
109     cout << endl;
110 
111     shellSort1(a, ilen);
112     //shellSort2(a, ilen);
113 
114     cout << "after  sort:";
115     for (i=0; i<ilen; i++)
116         cout << a[i] << " ";
117     cout << endl;
118 
119     return 0;
120 }

View Code

希尔排序Java实现
实现代码(ShellSort.java)

  1 /**
  2  * 希尔排序：Java
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/11
  6  */
  7 
  8 public class ShellSort {
  9 
 10     /**
 11      * 希尔排序
 12      *
 13      * 参数说明：
 14      *     a -- 待排序的数组
 15      *     n -- 数组的长度
 16      */
 17     public static void shellSort1(int[] a, int n) {
 18 
 19         // gap为步长，每次减为原来的一半。
 20         for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
 21 
 22             // 共gap个组，对每一组都执行直接插入排序
 23             for (int i = 0 ;i < gap; i++) {
 24 
 25                 for (int j = i + gap; j < n; j += gap) {
 26 
 27                     // 如果a[j] < a[j-gap]，则寻找a[j]位置，并将后面数据的位置都后移。
 28                     if (a[j] < a[j - gap]) {
 29 
 30                         int tmp = a[j];
 31                         int k = j - gap;
 32                         while (k >= 0 && a[k] > tmp) {
 33                             a[k + gap] = a[k];
 34                             k -= gap;
 35                         }
 36                         a[k + gap] = tmp;
 37                     }
 38                 }
 39             }
 40         }
 41     }
 42 
 43     /**
 44      * 对希尔排序中的单个组进行排序
 45      *
 46      * 参数说明：
 47      *     a -- 待排序的数组
 48      *     n -- 数组总的长度
 49      *     i -- 组的起始位置
 50      *     gap -- 组的步长
 51      *
 52      *  组是"从i开始，将相隔gap长度的数都取出"所组成的！
 53      */
 54     public static void groupSort(int[] a, int n, int i,int gap) {
 55 
 56         for (int j = i + gap; j < n; j += gap) {
 57 
 58             // 如果a[j] < a[j-gap]，则寻找a[j]位置，并将后面数据的位置都后移。
 59             if (a[j] < a[j - gap]) {
 60 
 61                 int tmp = a[j];
 62                 int k = j - gap;
 63                 while (k >= 0 && a[k] > tmp) {
 64                     a[k + gap] = a[k];
 65                     k -= gap;
 66                 }
 67                 a[k + gap] = tmp;
 68             }
 69         }
 70     }
 71 
 72     /**
 73      * 希尔排序
 74      *
 75      * 参数说明：
 76      *     a -- 待排序的数组
 77      *     n -- 数组的长度
 78      */
 79     public static void shellSort2(int[] a, int n) {
 80         // gap为步长，每次减为原来的一半。
 81         for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
 82             // 共gap个组，对每一组都执行直接插入排序
 83             for (int i = 0 ;i < gap; i++)
 84                 groupSort(a, n, i, gap);
 85         }
 86     }
 87 
 88     public static void main(String[] args) {
 89         int i;
 90         int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70};
 91 
 92         System.out.printf("before sort:");
 93         for (i=0; i<a.length; i++)
 94             System.out.printf("%d ", a[i]);
 95         System.out.printf("
");
 96 
 97         shellSort1(a, a.length);
 98         //shellSort2(a, a.length);
 99 
100         System.out.printf("after  sort:");
101         for (i=0; i<a.length; i++)
102             System.out.printf("%d ", a[i]);
103         System.out.printf("
");
104     }
105 }

View Code

上面3种实现的原理和输出结果都是一样的。下面是它们的输出结果：

before sort:80 30 60 40 20 10 50 70 
after  sort:10 20 30 40 50 60 70 80

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