• 【acwing板子大全】数论


    分解质因数

    inline void divide(int x){
    	for(int i=2;i*i<=x;++i){
    		if(x%i==0){
    			int cnt=0;
    			while(x%i==0){
    				x/=i;
    				cnt++;
    			}
    			printf("%lld %lld
    ",i,cnt);
    		}
    	}
    	if(x>1)printf("%lld %lld
    ",x,1);
    	//可能是一些大数没有可以除的数字存在所以要特判
    	puts("");
    }
    

    试除法求约数

    note:* 可以只遍历一半,另一半由x/i O(1)求

    #define N 1000010
    
    int n,tot;
    int p[N];
    bool ip[N];
    
    inline void divide(int x){
    	mem(p,0);
    	tot=0;
    	for(int i=1;i*i<=x;++i){
    		if(x%i==0){
    			p[++tot]=i;
    			if(x/i!=i)
    				p[++tot]=x/i;
    		}
    		
    	}
    	sort(p+1,p+tot+1);
    	rep(j,1,tot)
    		printf("%lld ",p[j]);
    	puts("");
    }
    

    如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck

    约数个数: (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)

    约数之和: (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)


    约数个数 坑题

    SOL:

    约数个数即每个(质因数的个数+1)相乘,因为对于每个质因数,你有选0,1,2,...此质因数的个数 种选法,乘法原理一下就好啦
    

    note:

    * unordered_map 不能在本地运行……………… 
    
    * 为防止桶开不下(2e9),用unordered_map来维护下一个的位置
    
    #define mod 1000000007
    #define N 10000010
    
    int n,ans=1;
    
    unordered_map<int,int> p; 
    
    inline void count(int x){
    	for(int i=2;i*i<=x;++i){
    		while(x%i==0){
    			p[i]++;
    			x/=i;
    		}
    	}
    	if(x>1)p[x]++;
    }
    #undef int
    int main(){
    #define int long long
    	//freopen("yueshu.txt","r",stdin);
    	rd(n);
    	while(n--){
    		int x;rd(x);
    		count(x);
    	}
        int res=1;
        for(unordered_map<int,int>::iterator it=p.begin();it!=p.end();it++){
            res=res*(it->second+1)%mod;
        }
    	printf("%lld",res%mod);
    	return 0;
    }
    

    欧拉函数

    当p[],ip[]必须开到2e9,你是否会感到绝望?

    那你就不要用线性求欧拉函数嘛,用公式啊喂

    用公式需注意:

    ϕ(N) = N∗(p1−1/p1)∗(p2−1/p2)∗…∗(pm−1/pm)
    最好先/后*,我说的是最好
    注意考虑(x>1)的情况(x是个质数)

    /*
    reference:
    	
    translation:
    	
    solution:
    
    trigger:
    	
    note:
    	*
    record:
    
    date:
    	2019.08.28
    */
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define int long long
    #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
    #define dwn(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i) 
    template <typename T> inline void rd(T &x){x=0;char c=getchar();int f=0;while(!isdigit(c)){f|=c=='-';c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}x=f?-x:x;} 
    inline void write(int n){if(n==0)return;write(n/10);putchar(n%10+'0');}
    #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
    #define ee(i,u) for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    
    #undef int
    int main(){
    #define int long long
    	#ifdef WIN32
    	freopen("","r",stdin);
    	#endif
    	int n;rd(n);
    	while(n--){
    		int x;rd(x);
    		int ans=x;
    		for(int i=2;i*i<=x;++i){
    			if(x%i==0){
                    ans=ans/i*(i-1);   //防止溢出
                    while(x%i==0) x/=i;
    			}
    		}
    		if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
    		printf("%lld
    ",ans);
    	} 
    	return 0;
    }
    
    • 质数i的欧拉函数即为phi[i]=i-1;
      1 ~ i−1均与i互质,共i−1个。

    • phi[p[j] * i]分为两种情况:

      • ① i%p[j]==0时:p[j]是i的最小质因子,也是p[j]* i的最小质因子,因此(1-1/p[j])这一项在phi[i]中计算过了,只需将基数N修正为p[j]倍,最终结果为phi[i]* p[j]。
      • ② i%p[j]!=0:p[j]不是i的质因子,只是p[j]* i的最小质因子,因此不仅需要将基数N修正为p[j]倍,还需要补上(1-1/p[j])这一项,因此最终结果phi[i]* (p[j]-1)。又因为p[j]是质数,所以又可以写作(phi[p[j]])

    真.欧拉筛

    
    #define N 1000010
    int p[N],phi[N],tot;
    bool ip[N];
    inline void Euler(){
    	mem(ip,1);
    	ip[1]=0;
    	phi[1]=1;
    	rep(i,2,N){
    		if(ip[i]){
    			p[++tot]=i;
    			phi[i]=i-1;
    		}
    		for(int j=1;j<=tot && i*p[j]<=N;++j){
    			ip[i*p[j]]=0;
    			if(i%p[j]==0){
    				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
    				break;
    			}
    			else phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
    		}
    	}
    }
    
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/sjsjsj-minus-Si/p/11634707.html
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