[OI学习笔记]最长上升子序列

背景

　　我是DP超级大蒟蒻，这种问题上课听一脸懵逼，

　　于是今天下午拿出来好好补。。。

　　这里只举最长上升子序列的栗子

O(n^2)做法

　　在序列a　

　　设dp[i]是以第i个数结束的最长上升子序列的长度

　　那么对于每一个i，枚举j满足j<i&&a[j]<a[i]的最大dp[j]

　　那么dp[i]=dp[j]+1;

　　状态转移方程：dp[i]=max{dp[j]+1};(j<i&&a[j]<a[i]) 

　　代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=10010;

int n,a[MAXN],dp[MAXN],ans=0;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    dp[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(a[j]<a[i]&&dp[j]+1>dp[i])
                dp[i]=dp[j]+1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
} 

O(n*log2n)做法

　　用一个stack存储当前的最长上升子序列，没加上一个数qwq，判断：

　　1.qwq数大于栈顶：直接压入栈顶

　　2.否则：找到栈中最值得替换为qwq的数（即第一个大于等于qwq的数，可用stl的lower_bound求），将其替换为qwq。

例题

　　洛谷1020

　　第一问求最长不降子序列，第二问求最长上升子序列（因为打断拦截的就是这个序列里的元素）

　　代码:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=100010;

int n=1,a[MAXN],ans1=1,ans2=1;
int stack1[MAXN],stack2[MAXN];

struct cmp{
    bool operator()(int a,int b){
        return a>b;
    }
};

int main(){
    while(cin>>a[n])n++;
    n--;
    stack1[1]=stack2[1]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(a[i]<=stack1[ans1])
            stack1[++ans1]=a[i];
        else
            stack1[upper_bound(stack1+1,stack1+ans1+1,a[i],cmp())-stack1]=a[i];
        if(a[i]>stack2[ans2])
            stack2[++ans2]=a[i];
        else
            stack2[lower_bound(stack2+1,stack2+ans2+1,a[i])-stack2]=a[i];
    }
    printf("%d %d",ans1,ans2);
    return 0;
}