10.3广州集训 day2t2 遗传病

这次没有链接== 题目是qz1z买的好像==

听说标解是状压容斥……？

但是我好像直接用莫比乌斯函数乱搞过去了

翻译一下题目

动态求解 $sum_{1<=i<=n}sum_{1<=j<=n}[gcd(a_i,a_j)==1]$

一看就长得一脸莫比乌斯样 这种简单数论题都被做烂了……

根据莫比乌斯函数的性质

变成$sum_{1<=i<=n}sum_{1<=j<=n}sum_{d|gcd(a_i,a_j)}μ(d)$

把枚举因数提前

变成$sum_{d=1}^{n}μ(d)sum_{i=1}^{n}[d|a_i]sum_{j=1}^{n}[d|a_j]$

然后就发现后面两个求和的答案是$d$是多少个数的因数的答案的平方

于是我们就$sqrt{a_i}$地维护这个答案就可以了

Code:

#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline", "fast-math", "unroll-loops", "no-stack-protector")
#pragma GCC diagnostic error "-fwhole-program"
#pragma GCC diagnostic error "-fcse-skip-blocks"
#pragma GCC diagnostic error "-funsafe-loop-optimizations"
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int n=500000;
int N,Q;
bool flag;
bool vis[500005];
int mu[500005],cnt[500005],Prime[500005],a[500005],IsPrime[500005],Index;
void read(int &t)
{
    char c; while (c=getchar()) if (47<c&&c<58) break;
    t=c-48; while (c=getchar()) if (47<c&&c<58) t=(t<<3)+(t<<1)+c-48; else break;
}
void Pre(){
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
     {
         if (!IsPrime[i]){
         Index++;
         Prime[Index]=i;
         mu[i]=-1;
        }
    for (int j=1;j<=Index&&i*Prime[j]<=n;j++)
      {
         IsPrime[i*Prime[j]]=true;
          if (i%Prime[j]==0)
             break;
        else 
        mu[i*Prime[j]]=-mu[i];
      }
     }
}
int main(){
    read(N); read(Q);
    for (int i=1;i<=N;i++) read(a[i]);
    long long ans=0;
    Pre();
    while (Q--){
        int opt;
        read(opt);
        int xs;
        if (!vis[opt]) xs=1;
        else xs=-1;
        vis[opt]=1-vis[opt];
        int now=a[opt];
        if (a[opt]==1) flag=vis[opt];
        for (int i=1;i*i<=now;i++){
            if (now%i==0){
                int R=cnt[i];
                ans=ans-(1ll*R*R*mu[i]);
                cnt[i]+=xs;
                R=cnt[i];
                ans=ans+(1ll*R*R*mu[i]);
                if((now/i)!=i){
                    R=cnt[now/i];
                    ans-=(1ll*R*R*mu[now/i]);
                    cnt[now/i]+=xs;
                    R=cnt[now/i];
                    ans+=(1ll*R*R*mu[now/i]);
                }
            }
        }
        printf("%lld
",ans-flag>>1);
    }
    return 0;
}

 --------------------------分割线---------------------------------

2019.10.23 upd

因为一些原因结果还是把状压的做法写了……就顺手写一下题解吧==

考虑一个数字新加进来的时候能产生什么贡献

考虑它的质因数

对于一个有$k$个质因数的$a$

我们去枚举它的子集

根据容斥原理 $ans(S)$=$(-1)^{|T|}*d(T)$ $T⊆S$

因为$2*3*5*7*11*13*17$>$500000$

所以每个数最多$6$个质因子

直接状压完事==

注意枚举的边界==

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N,Q,anss;
int a[100005],cnt[500005],Len;
bool used[100005];
int qwq[20];
int Prime[50005];
int Index;
int T;
bool IsPrime[500005];
inline void Pre(){
    for (int i=2;i<=500001;i++){
         if (!IsPrime[i]){
         Index++;
         Prime[Index]=i;
        }
    for (int j=1;j<=Index&&i*Prime[j]<=500001;j++){
        IsPrime[i*Prime[j]]=true;
          if (i%Prime[j]==0)
             break;
      }
     }
}
inline int Con(int x){
    int ans=0;
    for (;x;x-=(x&(-x)),ans++);
    return ans;
}
inline int Tes(int x){
    long long qwqq=1;
    for (int i=0;i<Len;i++)
        if (x&(1<<i)) qwqq=1ll*qwqq*qwq[i];
    return cnt[qwqq];
}
inline int Get_ans(int x){
    long long qwqq=1;
    for (int i=0;i<Len;i++)
        if (x&(1<<i)) qwqq=1ll*qwqq*qwq[i];
    return qwqq;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&N,&Q);
    Pre();
    Index=505;
    for (int i=1;i<=N;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    while (Q--){
        int opt;
        scanf("%d",&opt);
        int now=a[opt];
        int noww=now;
        Len=0;
        for (int i=1;i<=Index;i++){
            if (noww%Prime[i]==0){
                qwq[Len++]=Prime[i];
                while (noww%Prime[i]==0)
                    noww/=Prime[i];    
            }
            if (noww==1) break;
        }
        if (noww!=1) qwq[Len++]=noww;
        int ans=0;
        int st=(1<<Len)-1;
        if (used[opt])
        for (int i=0;i<=st;i++)
            cnt[Get_ans(i)]--;
        for (int i=0;i<=st;i++){
            int qwqq=Con(i);
            int xs=0;
            if (qwqq%2==0) xs=1;
            else xs=-1;
            ans+=xs*Tes(i);
        }
        if (used[opt]) anss-=ans;
        else{
            for (int i=0;i<=st;i++)
                cnt[Get_ans(i)]++;
            anss+=ans;
        }
        used[opt]=(1-used[opt]);
        printf("%d
",anss);
    }
    return 0;
}