流密码应用

1 例 2-3

已知线性反馈移位寄存器的初始状态为 ({1,0,0,1,1})，转移函数为 (f(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=a_1oplus a_4)，求输出状态和周期。

1.1 图标法

画表：

(a_1)	(a_2)	(a_3)	(a_4)	(a_5)	(f)
1	0	0	1	1	0
0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	0
1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0
1	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1
0	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1
0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	0	1
1	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	1
1	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1
1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	0
1	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	0
1	1	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1
0	0	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	0
1	1	1	1	0	0
1	1	1	0	0	1
1	1	0	0	1	1

周期为 31，输出序列为 1001101001000010101110110001111。

1.2 程序法

#include<bits/stdc++.h>
#define n 5
using namespace std;
int main()
{
	bitset<n>bint(19);
	bitset<n>str(bint);
	string s1;
	cout << "初始状态为："<<bint.to_string() << endl;
	int co=0;
	do
	{
		s1 += bint[4]+'0';
		int j = bint[4] ^ bint[1];
		bint.operator<<=(1);
		bint[0] = j;
		co++;
	} 
	while (str.to_string() != bint.to_string());
	cout<<"输出序列为："<<s1<<endl;
	cout<<"周期为："<<co<<endl;
	return 0;
}

运行结果：

1.3 特征多项式法

其特征多项式为 (p(x)=x^4+x+1)，其输出序列的递推关系为 (a_k=a_{k-2}oplus a_{k-5}，k>=5)
则可以轻松得到输出序列 1001101001000010101110110001111。
相比之下这种方法比较简单。

2 习题 2.1

3级线性反馈寄存器在(c_3=1)时可有 4 种线性反馈函数，设其初始状态 ({a_1,a_2,a_3}=(1,0,1))，求各线性反馈寄存器的输出序列及周期。
解：其特征多项式可能为 (p(x)=x+1)、(p(x)=x^3+x+1)、(p(x)=x^2+x+1)、(p(x)=x^3+x^2+x+1)，依次讨论：

[当 p(x)=x+1时 a_k=a_{k-3} \ 输出序列:101101 dots p=3 \ 当 p(x)=x^3+x+1时 a_k=a_{k-1}oplus a_{k-3} \ 输出序列:10100111010011dots p=7 \ 当 p(x)=x^2+x+1时 a_k=a_{k-2}oplus a_{k-3} \ 输出序列:10111001011100dots p=7 \ 当 p(x)=x^3+x^2+x+1时 a_k=a_{k-1}oplus a_{k-2}oplus a_{k-3} \ 输出序列:1010dots p=2 ]

3 习题 2.3

设 (n=4，f(a_1,a_2,a_3,a_4)=a_1oplus a_2oplus a_3oplus a_4)，初始状态为 ((a_1,a_2,a_3,a_4)=(1,1,0,1))，求此非线性反馈移位寄存器的输出序列及周期。
解：

(a_1)	(a_2)	(a_3)	(a_4)	(f)
1	1	0	1	1
1	0	1	1	1
0	1	1	1	0
1	1	1	0	1
1	1	0	1	1

输出序列为 11011101……，周期为 4。

4 习题 2.4

设密钥流是由 (m=2s) 级 LFSR 产生，其前 (m+2) 个比特是 ((01)^{s+1})，即 (s+1) 个 (01)。问第 (m+3) 个比特有无可能是 (1)，为什么？
解：
由题知该 LFSR 状态转移图为

(f_1)	(0)	(1)
(s_0)	1	-
(s_1)	-	0

(f_2)	(0)	(1)
(s_0)	(s_1)	-
(s_1)	-	(s_0)

输出序列的周期为 2，输出序列为 01 的循环，且第 (m+2) 个比特为 1 ，由状态转移方程得第 (m+3) 个比特为 0，不可能为 1。

5 习题 2.5

设密钥流是由 n 级 LFSR 产生，其周期为 (2^n-1)，(i) 是任一正整数，在密钥流中考虑一下比特对：
((S_{i},S_{i+1}),(S_{i+1},S_{i+2}),cdots ,(S_{i+2^n-3},S_{i+2^n-2}),(S_{i+2^n-2},S_{i+2^n-1}))
问有多少形如 ((S_{i},S_{i+1})=(1,1)) 的比特对？证明你的结论。

解：
共 (((i+2^n-2)-(i))/2=(2^{n-1}-1)) 对比特对，包含的比特位总数 (=2^n-1) ，为 1 周期
假设前 (2^{n-2}-1) 对比特对均为形如 ((S_{i},S_{i+1})=(0,0)) 的比特对，由定理 2-7 可得，({1}) 出现的次数为 $ 2^n-1 - {0出现的次数} = 2^{n-1}$，即剩下的比特对均为形如
((S_{i},S_{i+1})=(1,1)) 的比特对，即答案为 (2^{n-2})。
下面证明一般性：
由定理 2-7-(2) 可得，长为 (i) 的游程有 (2^{n-i-1}/2) 个，且 (0、1) 各半，长为 (n) 的 (1) 游程一个而长为 (i) 的 (1) 游程，可组成 (i-1) 个形如 ((S_{i},S_{i+1})=(1,1)) 的比特对。
(N=sum_{i=2}^{n-2}2^{n-i-1}/2*(i-1)+n=2^{n-2})

6 习题 2.6

已知流密码的密文串 (1010110110) 和明文串 (0100010001) ，而且已知密钥流是使用三级线性反馈移位寄存器产生的，试破译该密码系统。

解：参考例 2-6 ，将密文串与明文串异或运算得到密钥流 (1110100111) ，取密文串与明文串前六个字符建立如下方程

[(a_4a_5a_6)=(c_3c_2c_1)* egin{bmatrix} {a_1} & {a_2} & {a_3}\ {a_3} & {a_4} & {a_5}\ {a_4} & {a_5} & {a_6} end{bmatrix} \ (010)=(c_3c_2c_1)* egin{bmatrix} 1 & 1 & 1\ 1 & 1 & 0\ 1 & 0 & 1 end{bmatrix}\ 从而得到\ (c_3c_2c_1)=(111) egin{bmatrix} -1 & 1 & 1\ 1 & 0 & -1\ 1 & -1 & 0 end{bmatrix}=(101)\ 即a_k=a_{k-1}oplus a_{k-3} ]

7 习题 2.7

若 GF(2) 上的二元加法流密码的密钥生成器是 n 级线性反馈移位寄存器，产生的密钥是 m 序列。2.5 节已知，敌手若是知道一段长为 (2n) 的明密文对就可破译密钥流产生器。如果敌手仅仅知道长为 (2n-2) 的明密文对，问如何破译密钥流生成器。

解：敌手对于未知的 (2n-1，2n) 穷举可能的情况为 ({00,01,10,11}) ，对 4 种情况逐一尝试，即可破译。

8 习题 2.8

设 JK 触发器中 ({a_k}) 和 ({b_k}) 分别为 3 级和 4 级 m 序列密，且

[{a_k}=11101001110100cdots\ {b_k}=001011011011000001011011011000cdots\ ]

求输出序列 ({c_k}) 及周期。

解
(gcd(3,4)=1，周期 p=(2^3-1)*(2^4-1)=7*15=105)
由JK触发器的表达式

[c_k = egin{cases} {a_k} & ext{if } {c_{k-1}=0} \ {not b_k} & ext{if } {c_{k-1}=1} end{cases} ]

令 (c_{-1}=0) 输出序列为:{110010010101111110100101100011110001100100111110010101101111110101100010111110100100101111110101101100111}
C++ 实现 JK 触发器:

#include<bits/stdc++.h>
#define N 105 
using namespace std;
int main(){
	string a="1110100";
	string b="001011011011000"; 
	while(a.size()<=N)a+=a;
	while(b.size()<=N)b+=b;
	int tmp=a[0]-'0';
	cout<<tmp;
	for(int i=1;i<N;++i,tmp=tmp==0?a[i]-'0':b[i]=='0'?1:0)cout<<tmp;
	return 0;
}

p.s. JK触发器好像在数电里学过……(望天)

9 习题 2.9

设基本钟控序列产生器钟 ({a_k}) 和 ({b_k}) 分别为 2 级和 3 级 (m) 序列，且
({a_k}=10101cdots)
({b_k}=10011011001101cdots)
求输出序列 ({c_k}) 及周期。

解:
序列 ({a_k}) 的周期为 3，序列 ({b_k}) 的周期为 7，则序列 ({c_k}) 的周期为 (3*7=21)

[j=0\ c_k = egin{cases} {c_{k-1}} & ext{if } {a_{k}=0} \ {b_{++j}} & ext{if } {a_{k}=1} end{cases} ]

输出序列为：100011100111000111011
C++实现：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 21
using namespace std;
int main(){
	string a="101";
	string b="1001101"; 
	while(a.size()<=N+1)a+=a;
	while(b.size()<=N+1)b+=b;
	int j=0;
	int tmp=b[j]-'0';
	for(int i=0;i<N;++i){
		cout<<tmp;
		if(a[i]=='1')tmp=b[++j]-'0';
	}
	return 0;
}

10 习题 2.2

设 n 级线性反馈移位寄存器的特征多项式为 (p(x))，初始状态为 ((a_1,a_2,cdots ,a_n)=(00cdots 01))，证明输出序列的周期等于 (p(x)) 的阶

11