Burnside & Polya

群论相关

群

群的定义：(Large G) 为一个非空集合，对 (Large G) 的元素定义二元乘法，要求满足

1. 封闭性
2. 结合律
3. 幺元
4. 逆元

则称 $Large G $ 为一个群。

如果群 (Large G) 满足交换律，则称 (Large G) 为阿贝尔群。

置换群

置换

(Large n) 元集合 (Large Omega) 到自身的一个双射，在这里 (Large Omega={1,2,3...n})，记做 (Large x ightarrow f(x)) 。

置换群

置换组成的群，定义合成映射 (Large (fcirc g)(x)=f(g(x)) (xin Omega))。

(Large (G,circ )) 构成一个群，称为置换群，所有 (Large n!) 种置换构成的群为对称群。

置换群不一定是阿贝尔群。

Burnside 引理

群的等价类：在置换群 (Large G) 作用下元素 (Large k) 的运动轨迹（一些点的集合）

不动点：置换中 (Large x ightarrow x) 的 (Large x) 的个数。

[Large |X/G|=|G|^{-1}cdot sum_{gin G}|x^g| ]

等价类的个数 = 每个置换中不动点的个数的平均值。

脑筋急转弯！

(Large 2 imes 2) 的方格图，可以给每个方格染黑色或红色，问有多少种本质不同的染色方式（如果一种染色方式可以通过旋转变成另一种，则称它们是相同的）

请问，构造的群 (Large (G,circ )) 是几元的？

之前，我一直都认为是 4 元的，见笑了，直到今天，我才知道应该是 (Large 16) 元的。

这个过程是这样的，先不考虑旋转同构，有 (Large 2^4=16) 种，每一种对应一个元素，旋转看成把一个元素变成另外一个元素，这样的置换，可以证明这是一个双射。而不是把旋转看成某个格子位置的变换，这样算出来的等价类在 Burnside 引理中是没有意义的

第二问，构造的群 (Large (G,circ )) 是什么样子的。

1. 不动
2. 旋转 (Large frac{1}{2}pi)
3. 旋转 (Large pi)
4. 旋转 (Large frac{3}{2}pi)

为什么“不动”一定需要呢？幺元！

为什么 (Large 2,3,4) 不能只保留一个 (Large 2) 呢（(Large 3,4) 都可以通过 (Large 2) 自乘得到）？封闭性！

可以证明这样的群是满足 (Large 4) 个条件的。

感性理解

对于一个等价类

[Large 等价类里点的个数 imes 使他不发生改变的置换个数=总置换数 ]

极其难以理解的结论。

我也不知道怎么证。

常见结构的置换群：

正三角形：

1. 不动
2. 对应中心(Large ±120°)
3. 沿高翻转

正四面体：

1. 不动
2. 顶点到对面的高 (Large ±120°)
3. 棱中对棱中旋转 (Large 180°)

正方体：

1. 不动
2. 沿上下面心轴旋转 (Large ±90°)
3. 沿上下面心轴旋转 (Large 180°)
4. 棱中对棱中，旋转 (Large 180°)
5. 体对角线，旋转 (Large ±120°)

四元环

1. 不动
2. 中心旋转 (Large ±90°)
3. 中心旋转 (Large 180°)
4. 沿对点翻转
5. 沿对边中点翻转

Polya 定理

当颜色很多时，不考虑同构的染色局面会很多，这时候，用 (Large mbox{Burnside}) 定理构造的群的元数会特别多（指数级别）

从物体结构旋转的变化方面考虑（如果你不理解这句话，翻上去，就是我删掉的错误的话，虽然这么考虑在 Burnside 里是错的，但在 Polya 定理上就对了），他们同样构成了一个置换群。

把置换写成不相交的循环，对于某个置换下的不动点，每个不相交的循环只能填上一种颜色，公式不理解，就不写了。

[Large 某置换下的不动点数=位置变化的置换下不相交的循环个数^{颜色数} ]

然后在把这个带到 Burnside 定理里，就成了 Polya 定理。

例题

咕咕咕。