题目大意
有(n)个人，(m)个物品，每个人最多喜欢(p)个物品，要你选一个物品的集合，这个集合中的所有物品都被不少于(lfloor frac{n}{2} floor)的人喜欢。
解题思路
很有意思的一道题，通过这个题学习了SOS dp和随机化算法。首先我们选50个人出来，这50个人中所有人喜欢的物品的子集都不是最优解的可能性是(frac{1}{2^{50}})，概率十分的低，所以我们大可以认为选出的50个人中的一个子集必定是最优解。
然后就是怎么求最优解了，我们可以枚举每个人喜欢物品的集合的子集(s)，如果(n)个集合中(s)的超集不少于(lfloor frac{n}{2}
floor)个，那么这个子集就是解中的一个。怎么求超集呢？这就用到sos dp了。首先把抽出来的这个人所有喜欢的物品拉出来当作一个集合，然后再统计出所有人喜欢的物品与这个集合的交集，然后用sos dp求出来所有交集的超集就行了。
代码
const int maxn = 2e5+10;
const int maxm = 2e6+10;
ll arr[maxn], dp[maxn];
int main() {
IOS;
srand(time(0));
int n, m, p; cin >> n >> m >> p;
for (int i = 1; i<=n; ++i) {
string s; cin >> s;
for (int j = 0; j<m; ++j) arr[i] |= ((1LL*(s[j]=='1'))<<j);
}
int ans = 0;
string s(m, '0');
for (int i = 1; i<=50; ++i) {
int p = 1LL*rand()*rand()%n+1;
vector<int> tmp;
for (int j = 0; j<m; ++j)
if (arr[p]>>j&1) tmp.push_back(j);
clr(dp, 0);
int sz = tmp.size();
for (int j = 1; j<=n; ++j) {
int t = 0;
for (int k = 0; k<sz; ++k)
if ((1LL<<tmp[k])&arr[j]) t ^= (1<<k);
++dp[t];
}
for (int j = 0; j<sz; ++j)
for (int k = 0; k<(1<<sz); ++k)
if (k>>j&1) dp[k^(1<<j)] += dp[k];
for (int j = 0; j<(1<<sz); ++j) {
if (dp[j]*2<n) continue;
int x = __builtin_popcount(j);
if (x>ans) {
ans = x;
s.clear();
for (int k = 0; k<m; ++k) s += '0';
for (int k = 0; k<sz; ++k)
if (j>>k&1) s[tmp[k]] = '1';
}
}
}
cout << s << endl;
return 0;
}