• 什么是SG?+SG模板


    先,定义一下 状态Position P 先手必败 N x先手必胜

    操作方法: 反向转移

     相同状态 不同位置 的一对 相当于无

    对于ICG游戏,我们可以将游戏中每一个可能发生的局面表示为一个点。并且若存在局面i和局面j,且j是i的后继局面(即局面i可以转化为局面j),我们用一条有向边,从i出发到j,连接表示局面i和局面j的点。则整个游戏可以表示成为一个有向无环图:

    根据ICG游戏的定义我们知道,任意一个无法继续进行下去的局面为终结局面,即P局面(先手必败)。在上图中我们可以标记所有出度为0的点为P点。接着根据ICG游戏的两条性质,我们可以逆推出所有点为P局面还是N局面:

    对于一个游戏可能发生的局面x,我们如下定义它的sg值:
    (1)若当前局面x为终结局面,则sg值为0。
    (2)若当前局面x非终结局面,其sg值为:sg(x) = mex{sg(y) | y是x的后继局面}。
    mex{a[i]}表示a中未出现的最小非负整数。举个例子来说:
    mex{0, 1, 2} = 3, mex{1, 2}=0, mex{0,1,3}=2

    我们将上图用sg函数表示后,得到:

    可以发现,若一个局面x为P局面,则有sg(x)=0;否则sg(x)>0。同样sg值也满足N、P之间的转换关系:
    若一个局面x,其sg(x)>0,则一定存在一个后续局面y,sg(y)=0。
    若一个局面x,其sg(x)=0,则x的所有后续局面y,sg(y)>0。

    由上面的推论,我们可以知道用N、P-Position可以描述的游戏用sg同样可以描述。并且在sg函数中还有一个非常好用的定理,叫做sg定理:
    对于多个单一游戏,X=x[1..n],每一次我们只能改变其中一个单一游戏的局面。则其总局面的sg值等于这些单一游戏的sg值异或和。

    先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

    对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x]

    例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?

    sg[0]=0,f[]={1,3,4},

    x=1时,可以取走1-f{1}个石子,剩余{0}个,mex{sg[0]}={0},故sg[1]=1;

    x=2时,可以取走2-f{1}个石子,剩余{1}个,mex{sg[1]}={1},故sg[2]=0;

    x=3时,可以取走3-f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,mex{sg[2],sg[0]}={0,0},故sg[3]=1;

    x=4时,可以取走4-f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

    x=5时,可以取走5-f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3;

    以此类推.....

       x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

    sg[x]      0  1  0  1  2  3  2  0  1....

     

    计算从1-n范围内的SG值。

    f(存储可以走的步数,f[0]表示可以有多少种走法)

    f[]需要从小到大排序

    1.可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);

    2.可选步数为任意步,SG(x) = x;

    3.可选步数为一系列不连续的数,用GetSG()计算

    //f[]:可以取走的石子个数
    //sg[]:0~n的SG函数值
    //hash[]:mex{}
    int f[N],sg[N],hash[N];     
    void getSG(int n)
    {
        int i,j;
        memset(sg,0,sizeof(sg));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            memset(hash,0,sizeof(hash));
            for(j=1;f[j]<=i;j++)
                hash[sg[i-f[j]]]=1;
            for(j=0;j<=n;j++)    //求mes{}中未出现的最小的非负整数
            {
                if(hash[j]==0)
                {
                    sg[i]=j;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    SG打表
    //注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
    //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
    int s[110],sg[10010],n;
    int SG_dfs(int x)
    {
        int i;
        if(sg[x]!=-1)
            return sg[x];
        bool vis[110];
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            if(x>=s[i])
            {
                SG_dfs(x-s[i]);
                vis[sg[x-s[i]]]=1;
            }
        }
        int e;
        for(i=0;;i++)
            if(!vis[i])
            {
                e=i;
                break;
            }
        return sg[x]=e;
    }
    dfs

     注意在SG表的初始化中,不用每次都初始;否则会T的,因为可以循环利用,这是一个强大的地方

    HDU1536 实战

    #include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<string.h>
    using namespace std;
    int s[110],sg[10010],n;
    char op[200];
    int SG_dfs(int x)
    {
        int i;
        if(sg[x]!=-1)
            return sg[x];
        bool vis[110];
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            if(x>=s[i])
            {
                SG_dfs(x-s[i]);
                vis[sg[x-s[i]]]=1;
            }
        }
        int e;
        for(i=0;;i++)
            if(!vis[i])
            {
                e=i;
                break;
            }
        return sg[x]=e;
    }
    int main()
    {
       int k;
        while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        {
            if(n==0)
            break;
            for(int i=0 ; i<n ; i++)
            scanf("%d",&s[i]);
            sort(s,s+n);
            int m,cnt=0;
            scanf("%d",&m);
            memset(sg,-1,sizeof(sg));
            for(int i=0 ; i<m ; i++)
            {
    
                scanf("%d",&k);
                int x=0;
                while(k--)
                {
                    int w;
                    scanf("%d",&w);
                    x^=SG_dfs(w);
    
                }
                if(x!=0)
                printf("W");
                else
                printf("L");
            }
                 puts("");
        }
    
        return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/shuaihui520/p/9564718.html
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