数据结构与算法-基础（六）二叉树基础

摘要

二叉树是树结构中最基础，也是最重要的结构。由二叉树衍生出多种不同类型的二叉树，当学习完二叉树的不同衍生结构后，会发现，都不能逃离二叉树的定义和特定。

树结构

生活中会遇到很多树形结构的场景，比如公司的组织架构、文件目录等等。使用树形结构是出于可以提高效率的目的。

基本概念

树有节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点这几个关键词。树可以没有一个节点，称为空树，也可以只有一个节点，即只有根节点。树也可以分为子树、左子树、右子树。

在树的结构中，有以下几个：

• 节点的度：子树的个数
• 树的度：所有节点度中的最大值
• 叶子节点：度为 9 的节点
• 非叶子节点：度不为 0 的节点
• 层数：根节点在第 0 层，根节点的子节点在第 2 层，以此类推，直到最后
• 节点的深度：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数
• 节点的高度：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数
• 树的深度：所有节点深度中的最大值
• 树的高度：所有节点高度中的最大值
• 树的深度等于树的高度

树的类型

树分为有序树、无序树和森林。有序树中任意节点的子节点之间有顺序关系，无序树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，森林由多颗互不相交的树组成的集合。

二叉树（Binary Tree）

二叉树是每个节点的度最大为 2（最多拥有 2 棵子树）的树，二叉树的左右子树有顺序。即使某一个节点只有一颗子树，也需要区分左右子树。

性质

二叉树总共有以下几个特点：

• 非空二叉树的第 i 层，最多有 2^(i-1) 个节点（i >= 1)
• 在高度为 h 的二叉树上最多有 2^h - 1 个节点（h >= 1）
• 任何一棵非空二叉树，如果叶子节点个数为 n0，度为 2 的节点个数为 n2，则有：n0 = n2 + 1
  • 假设度为 1 的节点个数为 n1，那么二叉树的节点总数 n = n0 + n1 + n2
  • 二叉树的边数 T = n1 + 2 * n2 = n - 1 = n0 + n1 + n2 - 1
  • 由上推出：n0 = n2 + 1

二叉树的类型

• 真二叉树：所有节点的度要么为 0，要么为 2
• 满二叉树：所有节点的度都要么为 0，要么为 2。且所有的叶子节点都在最后一层
• 完全二叉树：叶子节点只会出现最后 2 层，且最后 1 层的叶子节点都靠左对齐

由上总结出，满二叉树一定是真二叉树，但是真二叉树不一定是满二叉树

实现

根据二叉树的特点，可以总结出每个节点有父节点、左子节点、右子节点，还有自身节点的元素。看左右子节点是否为空来判断该节点是叶子节点还是度为 2 的节点，代码如下：

static class Node<E> {
  // 父节点
  Node<E> parent;
  // 左子节点
  Node<E> left;
  // 右子节点
  Node<E> right;
  // 元素
  E element;

  public Node(E element, Node<E> parent) {
    this.element = element;
    this.parent = parent;
  }

  /**
   * 是否是叶子节点
   * 
   * 通过判断是否 left 和 right 是否都为 null
   * 
   * @return
   */
  public Boolean isLeaf() {
    return left == null && right == null;
  }

  /**
   * 是否是度为 2 的节点
   * @return
   */
  public Boolean isHaveTowChildren() {
    return left != null && right != null;
  }
}