Description
给定一棵树，点带点权，允许修改点权，求每次修改之后树的最大独立集
Solution
ddp用LCT维护
前置知识（静态树的最大独立集问题）
首先，我们要明确静态树的最大独立集的解法
定义$f[i][0/1]$表示在以$i$为根的子树中，该节点选/不选的最大权值，那么有状态转移方程
$$left{
egin{matrix}
f[i][0]=sumlimits_{jin son(i)}{max{f[j][0],f[j][1]}} \
f[i][1]=val[i]+sumlimits_{jin son(i)}{f[j][0]}
end{matrix}
ight.
$$
我们可以通过一遍dfs在$O(n)$的时间内求出
简化版问题
假定现在这道题不是一棵树而是一个序列，允许修改点权，并且要求求出若干个两两不相邻的点的最大权值和
状态定义类似：定义$f[i][0/1]$表示在前$i$个元素中，$i$选/不选的最大权值，那么有状态转移方程
$$left{
egin{matrix}
f[i][0]=max{f[i-1][1],f[i-1][0]} \
f[i][1]=val[i]+f[i-1][0]
end{matrix}
ight.
$$
矩阵优化转移
我们将转移用矩阵进行优化，并且重新定义矩阵乘法的含义，假定$C=A imes B$，那么有
$$C_{i,j}=maxlimits_{kin [1, j]}{A_{i,k}+B_{k,j}}$$
因此，转移可以写成这样
$$
egin{bmatrix}
0 & 0 \
val[i] & -infty
end{bmatrix}
imes
egin{bmatrix}
f[i-1][0] \
f[i-1][1]
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
f[i][0] \
f[i][1]
end{bmatrix}
$$
所以我们转移时将这些矩阵乘起来就好了
可以用线段树维护，时间复杂度$O(mlogn)$
（真的）动态dp
现在我们把这个问题搬到了树上
再套一个LCT维护即可
我们定义状态，$g[i][1/0]$表示在以$i$为根的子树中，轻儿子及其子树的dp值，那么有状态转移方程
$$left{
egin{matrix}
g[i][0]=sumlimits_{jin lightson(i)}{max{f[j][0],f[j][1]}} \
g[i][1]=val[i]+sumlimits_{jin lightson(i)}{f[j][0]}
end{matrix}
ight.
$$
同时，$f$也可以维护：
$$left{
egin{matrix}
f[i][0]=g[i][0]+ max{f[i.heavyson][0],f[i.heavyson][1]} \
f[i][1]=g[i][1]+f[i.heavyson][0]
end{matrix}
ight.
$$
同样用矩阵优化转移：
$$
egin{bmatrix}
g[i][0] & g[i][0] \
g[i][1] & -infty
end{bmatrix}
imes
egin{bmatrix}
f[i.heavyson][0] \
f[i.heavyson][1]
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}
f[i][0] \
f[i][1]
end{bmatrix}
$$
这样，我们用LCT就能维护这个dp了
时间复杂度为$O(mlogn)$
Code
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int N = 1e5 + 10; 5 const int INF = 0x3f3f3f3f; 6 inline int read() { 7 int ret = 0, op = 1; 8 char c = getchar(); 9 while (!isdigit(c)) { 10 if (c == '-') op = -1; 11 c = getchar(); 12 } 13 while (isdigit(c)) { 14 ret = (ret << 3) + (ret << 1) + c - '0'; 15 c = getchar(); 16 } 17 return ret * op; 18 } 19 struct Edge { 20 int nxt, to; 21 } e[N << 1]; 22 struct Matrix { 23 int m[2][2]; 24 Matrix() {memset(m, 0, sizeof(m));} 25 inline void build(int x, int y) { 26 m[0][0] = m[0][1] = x; 27 m[1][0] = y; m[1][1] = -INF; 28 } 29 inline int getmax() { 30 return max(m[0][0], m[1][0]); 31 } 32 Matrix operator *(const Matrix &x) const { 33 Matrix ret; 34 for (register int i = 0; i < 2; ++i) 35 for (register int j = 0; j < 2; ++j) 36 for (register int k = 0; k < 2; ++k) 37 ret.m[i][j] = max(ret.m[i][j], m[i][k] + x.m[k][j]); 38 return ret; 39 } 40 }; 41 struct LCT { 42 int fa, ch[2], f[2]; 43 Matrix x; 44 } a[N]; 45 int num, head[N], n, m, val[N]; 46 inline void add(int from, int to) { 47 e[++num].nxt = head[from]; 48 e[num].to = to; 49 head[from] = num; 50 } 51 void dfs(int now, int fa) { 52 a[now].f[1] = val[now]; 53 for (register int i = head[now]; i; i = e[i].nxt) { 54 int to = e[i].to; 55 if (to == fa) continue ; 56 a[to].fa = now; 57 dfs(to, now); 58 a[now].f[0] += max(a[to].f[0], a[to].f[1]); 59 a[now].f[1] += a[to].f[0]; 60 } 61 a[now].x.build(a[now].f[0], a[now].f[1]); 62 } 63 inline int isnroot(int now) { 64 return a[a[now].fa].ch[1] == now || a[a[now].fa].ch[0] == now; 65 } 66 inline void update(int now) { 67 a[now].x.build(a[now].f[0], a[now].f[1]); 68 if (a[now].ch[0]) a[now].x = a[a[now].ch[0]].x * a[now].x; 69 if (a[now].ch[1]) a[now].x = a[now].x * a[a[now].ch[1]].x; 70 } 71 inline void rotate(int x) { 72 int y = a[x].fa; 73 int z = a[y].fa; 74 int xson = a[y].ch[1] == x; 75 int yson = a[z].ch[1] == y; 76 int B = a[x].ch[xson ^ 1]; 77 if (isnroot(y)) a[z].ch[yson] = x; 78 a[y].ch[xson] = B; 79 a[x].ch[xson ^ 1] = y; 80 if (B) a[B].fa = y; 81 a[y].fa = x; 82 a[x].fa = z; 83 update(y); 84 update(x); 85 } 86 void splay(int x) { 87 while (isnroot(x)) { 88 int y = a[x].fa; 89 int z = a[y].fa; 90 if (isnroot(y)) 91 (a[y].ch[0] == x) ^ (a[z].ch[0] == y) ? rotate(x) : rotate(y); 92 rotate(x); 93 } 94 update(x); 95 } 96 void access(int x) { 97 for (register int y = 0; x; y = x, x = a[x].fa) { 98 splay(x); 99 if (a[x].ch[1]) { 100 a[x].f[0] += a[a[x].ch[1]].x.getmax(); 101 a[x].f[1] += a[a[x].ch[1]].x.m[0][0]; 102 } 103 if (y) { 104 a[x].f[0] -= a[y].x.getmax(); 105 a[x].f[1] -= a[y].x.m[0][0]; 106 } 107 a[x].ch[1] = y; 108 update(x); 109 } 110 } 111 int main() { 112 n = read(); m = read(); 113 for (register int i = 1; i <= n; ++i) val[i] = read(); 114 for (register int i = 1; i < n; ++i) { 115 int x = read(), y = read(); 116 add(x, y); add(y, x); 117 } 118 dfs(1, 0); 119 while (m--) { 120 int x = read(); 121 int y = read(); 122 access(x); 123 splay(x); 124 a[x].f[1] += y - val[x]; 125 val[x] = y; 126 update(x); 127 splay(1); 128 printf("%d ", a[1].x.getmax()); 129 } 130 return 0; 131 }