普通平衡树
Description
设计一种数据结构，支持插入元素，删除元素，查询值为val的元素的排名，查询排名为rnk的值，查询x的前驱、后驱
Solution
Splay的基本操作，熟悉一下Splay，这些操作事实上与Treap也能解决。
为了实现Splay，我们有如下定义及实现方法。
1.定义结构体Splay，成员同Treap的定义
2.定义update函数用于维护节点的sum值
直接加法运算即可
3.定义connect函数用于建立父子之间的关系
直接赋值即可
4.定义rotate函数用于Splay的旋转
以左旋为例，假设旋转的节点为x，他的父亲为y，他的右子树为B，他的祖父为z，那么我们令B的父亲为y，y的父亲为x，x的父亲为z
5.定义splay函数用于实现平衡树的伸展操作
假设当前节点为x，需要伸展到的节点为to，假定x的父亲、祖父为y，z，那么假设x，y都是其父亲的左/ 右儿子，那么我们旋转y，x，否则我们旋转两次x
6.定义insert函数用于实现元素的插入
首先根据BST的性质找到插入的位置，如果这个位置有节点那么cnt++，否则新建节点并赋值
7.定义find函数用于找到某个值的节点的编号并且将这个节点伸展到树根
根据BST的性质找到位置并调用splay函数实现
8.定义calc函数用于计算并返回排名为x的数
根据BST的性质，假定我们要查询排名为x的元素，那么假设x小于等于左子树的大小那么进入左子树，如果x大于左子树+该节点重复的次数那么 进入右子树，否则返回当前节点
9.定义query函数用于计算并返回某个元素的前驱后驱的编号
首先调用find()使得目标节点伸展到树根上，如果目标节点的值恰好符合题意那么直接返回，否则利用BST的性质找到答案
10.定义del函数用于删除某个元素
假设删除的元素值为x，那么我们找到他的前后驱，执行两次伸展，直接删除即可完成
Code
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int INF = 2147483647; 4 inline int read() { 5 int ret = 0, op = 1; 6 char c = getchar(); 7 while (!isdigit(c)) { 8 if (c == '-') op = -1; 9 c = getchar(); 10 } 11 while (isdigit(c)) { 12 ret = ret * 10 + c - '0'; 13 c = getchar(); 14 } 15 return ret * op; 16 } 17 struct Splay { 18 int ch[2]; 19 int cnt, sum; 20 int val, fa; 21 } a[100010]; 22 int tot, root; 23 void update(int now) { 24 a[now].sum = a[a[now].ch[0]].sum + a[a[now].ch[1]].sum + a[now].cnt; 25 } 26 void connect(int x, int fa, int op) { 27 a[x].fa = fa; 28 a[fa].ch[op] = x; 29 } 30 void rotate(int x) { 31 int y = a[x].fa; 32 int z = a[y].fa; 33 int xson = a[y].ch[1] == x ? 1 : 0; 34 int yson = a[z].ch[1] == y ? 1 : 0; 35 int B = a[x].ch[xson ^ 1]; 36 connect(B, y, xson); connect(y, x, xson ^ 1); connect(x, z, yson); 37 update(y); update(x); 38 } 39 void splay(int from, int to) { 40 while (a[from].fa != to) { 41 int y = a[from].fa; 42 int z = a[y].fa; 43 if (z != to) 44 (a[y].ch[0] == from) ^ (a[z].ch[0] == y) ? update(from) : update(y); 45 rotate(from); 46 } 47 if (to == 0) root = from; 48 } 49 void insert(int val) { 50 int now = root, fa = 0; 51 while (now && a[now].val != val) { 52 fa = now; 53 now = a[now].ch[val > a[now].val]; 54 } 55 if(now) { 56 a[now].cnt++; 57 } 58 else { 59 a[now = ++tot].val = val; 60 a[tot].sum = a[tot].cnt = 1; 61 a[tot].fa = fa; 62 a[tot].ch[0] = a[tot].ch[1] = 0; 63 if (fa) a[fa].ch[val > a[fa].val] = tot; 64 } 65 splay(now, 0); 66 } 67 void find(int x) { 68 int now = root; 69 if (now == 0) return ; 70 while (a[now].val != x && a[now].ch[a[now].val < x]) now = a[now].ch[a[now].val < x]; 71 splay(now, 0); 72 } 73 int calc(int x) { 74 int now = root; 75 if (a[now].sum < x) return 0; 76 while (1) { 77 int y = a[now].ch[0]; 78 if (x > a[y].sum + a[now].cnt) { 79 x -= a[y].sum + a[now].cnt; 80 now = a[now].ch[1]; 81 } 82 else if (x <= a[y].sum) now = y; 83 else return a[now].val; 84 } 85 } 86 int query(int x, int op) { 87 find(x); 88 int now = root; 89 if ((op && a[now].val > x) || (a[now].val < x && !op)) return now; 90 now = a[now].ch[op]; 91 while (a[now].ch[op ^ 1]) now = a[now].ch[op ^ 1]; 92 return now; 93 } 94 void del(int x) { 95 int pre = query(x, 0); 96 int nxt = query(x, 1); 97 splay(pre, 0); splay(nxt, pre); 98 int now = a[nxt].ch[0]; 99 if (a[now].cnt > 1) { 100 a[now].cnt--; 101 splay(now, 0); 102 return ; 103 } 104 else a[nxt].ch[0] = 0; 105 } 106 int main() { 107 insert(-INF); 108 insert(INF); 109 int m = read(); 110 while (m--) { 111 int op = read(), x = read(); 112 if (op == 1) { 113 insert(x); 114 } 115 else if (op == 2) { 116 del(x); 117 } 118 else if (op == 3) { 119 find(x); 120 printf("%d ", a[a[root].ch[0]].sum); 121 } 122 else if (op == 4) { 123 printf("%d ", calc(x + 1)); 124 } 125 else if (op == 5) { 126 printf("%d ", a[query(x, 0)].val); 127 } 128 else { 129 printf("%d ", a[query(x, 1)].val); 130 } 131 } 132 return 0; 133 }
文艺平衡树
Description
写一种数据结构，维护一个序列，并支持区间翻转
Solution
Splay的经典操作:维护区间翻转
对于区间翻转这种操作，由于原序列不能排序，所以我们不能建立一棵权值树，所以我们按照节点的编号建立一棵平衡树。
相关函数的定义如下：
1.定义update函数用于维护节点的sum值
同上
2.定义splay函数用于实现平衡树的伸展操作
同上
3.定义find函数用于找到某个值的节点的编号
根据BST的性质找到位置即可
4.定义rotate函数用于用于Splay的旋转
同上
5.定义build函数用于建立平衡树
确切的讲，我们仿照线段树的建树方式，首先建立当前节点，然后递归建立其左右儿子，然后调用update()维护信息即可
6.定义reverse函数用于实现区间翻转
假定我们翻转的区间为[l,r]，那么我们调用splay()将l-1伸展到根节点，再调用一次splay()将r+1伸展到根节点的右儿子，这样我们只需要在根节点的右儿子的左儿子打一个标记即可。
7.定义pushdown函数用于下放标记
类比线段树，每一次翻转操作我们都会在相应的区间打标记，下放标记时将当前节点的标记清空，同时交换两个儿子，并且更新儿子的标记即可
8.定义connect函数用于建立父子之间的关系
同上
9.定义dfs函数用于输出最后的答案
根据BST的性质，我们对平衡树进行一次中序遍历即可输出最终的序列
Code
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int INF = 2147483647; 4 inline int read() { 5 int ret = 0, op = 1; 6 char c = getchar(); 7 while (!isdigit(c)) { 8 if (c == '-') op = -1; 9 c = getchar(); 10 } 11 while (isdigit(c)) { 12 ret = ret * 10 + c - '0'; 13 c = getchar(); 14 } 15 return ret * op; 16 } 17 int n, m, in[100010], root, tot; 18 struct Splay { 19 int val, sum, fa, ch[2], tag, cnt; 20 } a[100010]; 21 void update(int now) { 22 if (!now) return ; 23 a[now].sum = a[now].cnt; 24 if (a[now].ch[0]) a[now].sum += a[a[now].ch[0]].sum; 25 if (a[now].ch[1]) a[now].sum += a[a[now].ch[1]].sum; 26 } 27 void pushdown(int now) { 28 if (now && a[now].tag) { 29 a[a[now].ch[0]].tag ^= 1; 30 a[a[now].ch[1]].tag ^= 1; 31 swap(a[now].ch[1], a[now].ch[0]); 32 a[now].tag = 0; 33 } 34 } 35 void connect(int x, int fa, int op) { 36 a[fa].ch[op] = x; 37 a[x].fa = fa; 38 } 39 void rotate(int x) { 40 int y = a[x].fa; 41 int z = a[y].fa; 42 pushdown(x); 43 pushdown(y); 44 int xson = a[y].ch[1] == x ? 1 : 0; 45 int yson = a[z].ch[1] == y ? 1 : 0; 46 int B = a[x].ch[xson ^ 1]; 47 connect(B, y, xson); connect(y, x, xson ^ 1); connect(x, z, yson); 48 update(y), update(x); 49 } 50 void splay(int from, int to) { 51 while (a[from].fa != to) { 52 int y = a[from].fa; 53 int z = a[y].fa; 54 if (z != to) (a[y].ch[0] == from) ^ (a[z].ch[0] == y) ? rotate(from) : rotate(y); 55 rotate(from); 56 } 57 if (to == 0) root = from; 58 } 59 int build(int fa, int l, int r) { 60 if (l > r) return 0; 61 int mid = l + r >> 1; 62 int now = ++tot; 63 a[now].val = in[mid]; 64 a[now].cnt++; 65 a[now].fa = fa; 66 a[now].sum++; 67 a[now].ch[0] = 0; 68 a[now].ch[1] = 0; 69 a[now].ch[0] = build(now, l, mid - 1); 70 a[now].ch[1] = build(now, mid + 1, r); 71 update(now); 72 return now; 73 } 74 int find(int x) { 75 int now = root; 76 while (1) { 77 pushdown(now); 78 if (x <= a[a[now].ch[0]].sum) now = a[now].ch[0]; 79 else { 80 x -= a[a[now].ch[0]].sum + 1; 81 if (!x) return now; 82 now = a[now].ch[1]; 83 } 84 } 85 } 86 void reverse(int l, int r) { 87 l--, r++; 88 l = find(l); 89 r = find(r); 90 splay(l, 0); 91 splay(r, l); 92 int now = a[root].ch[1]; 93 now = a[now].ch[0]; 94 a[now].tag ^= 1; 95 } 96 void dfs(int now) { 97 pushdown(now); 98 if (a[now].ch[0]) dfs(a[now].ch[0]); 99 if (a[now].val != INF && a[now].val != -INF) printf("%d ", a[now].val); 100 if (a[now].ch[1]) dfs(a[now].ch[1]); 101 } 102 int main() { 103 n = read(); m = read(); 104 in[1] = -INF; in[n + 2] = INF; 105 for (register int i = 1; i <= n; ++i) in[i + 1] = i; 106 root = build(0, 1, n + 2); 107 for (register int i = 1; i <= m; ++i) { 108 int x = read() + 1, y = read() + 1; 109 reverse(x, y); 110 } 111 dfs(root); 112 return 0; 113 }