引子
在我之前的一篇文章[ ThoughtWorks代码挑战——FizzBuzzWhizz游戏 通用高速版(C/C++ & C#) ]里曾经提到过编译器在处理除数为常数的除法时，是有优化的，今天整理出来，一来可以了解是怎么实现的，二来如果你哪天要写编译器，这个理论可以用得上。此外，也算我的一个笔记。
实例
我们先来看一看编译器优化的实例。我们所说的除数为常数的整数除法(针对无符号整型, 有符号整型我们后面再讨论)，指的是，对于unsigned int a, b, c，例如：a / 10, b / 5, c / 3 诸如此类的整数除法，我们先来看看编译器 unsigned int a, p; p = a / 10; 是如何实现的，下图是 VS 2013 优化的结果，反汇编结果如下：
测试代码如下：
我们可以看到，编译器并没有编译成整数除法DIV指令，而是先乘以一个0xCCCCCCCD(MUL指令)，再把EDX右移了3位(SHR edx, 0x03)，EDX的值就是我们要求的商。
其原理整理后即为：Value / 10 ~= [ [ (Value * 0xCCCCCCCD) / 2^32 ] / 2^3 ]，方括号代表取整。
首先我们要知道一个东西，就是，Intel x86上32位无符号整型(uint32_t)相乘的结果其实是一个64位的整型，即uint64_t，相乘的结果保存在 EAX 和 EDX 两个寄存器里，EAX, EDX都是32位的，合在一起便是一个64位的整数了，一般记为 EDX : EAX，其中EAX是uint64_t的低位，EDX是高位。这个特性在大多数32位的CPU上都存在，即整数乘法结果的位长是被乘数位长的两倍，当然也不排除部分CPU因为某些特殊原因，其相乘的结果依然和被乘数的位长一样，但这样的CPU应该很少见。只有满足这个特性的CPU，常量的整数除法优化才能得以实现。
至于为什么不直接使用DIV指令，原因是：即使在当今发展已经比较完善也比较流行的x86系列CPU上，整数或浮点的除法指令依然是一条比较慢的指令，CPU在整数或浮点除法一般有两种实现方法，一种是试商法（这个非常类似人类在计算除法的过程，只不过这里CPU使用的是二进制来试商，用条件判断来判断如何结束），另一种是乘以 除数 的倒数（即 x (1.0 / 除数))，把除法变为乘法，因为乘法在CPU里实现是比较容易的，只需实现位移和加法器即可，并且可以并行处理。前一种方法，跟人类计算除法类似，无法做到并行处理，且计算过程是不定长的，可能很快就结束（刚好整除），可能要计算到合适的精度为止。而第二种方法，因为用无穷级数求(1.0 / 除数)的过程涉及精度问题，这个过程花的时间也是不定长的，而且用这种方法的时候，必须把整数除法转换为浮点除法才能进行，最后把结果再转换为整型。而试商法可以把整除除法和浮点除法分为两套方案，也可以合为一套方案。至于效率，第二种方法较快，但耗电会比第一种方法大，因为要用到大量的乘法器，所以x86上具体用的是那一种方法，我也不是很清楚，但是Intel手册上写着，Core 2架构的DIV指令的执行周期大概是13-84个周期不等。后续出的新CPU除法指令有没有更快我不太清楚，从实现原理上，终究是没有乘法快的，除非除法的设计有大的突破，因为Core 2上整数/浮点乘法就只需要3个时钟周期，想接近乘法的效率是很难的，关键的一点就是，目前，除法指令的时钟周期是变长的，可能很短，可能很长，平均花费的时钟周期是乘法指令的N倍。
原理
那么，这么优化的原理是什么？怎么得到的？可以应用于所有除数是uint32_t的常量的整数除法吗？答案是：可以的。但前提条件是，除数必须是常量，如果是变量，编译器也只能老老实实使用DIV指令。
由于博客园对LeTex支持不够好（不方便，颜色也不好看），所以我把推演的过程放到了 [这个网站] ，下面是推演过程的截图：
（由于 $c = 2^k$ 的时候，我们可以直接使用位移来实现除法，所以这种情况我们不做讨论。）
上图是原理的推演过程，下面我们来分析一下误差：
其实，如果向上取整不满足（１）式，那么向下取整必然满足（１）式，为什么呢？
虽然向上取整的结果是大于真实值的，向下取整的结果是小于真实值的，不管是大于还是小于，我们都称之为误差，向下取整的误差分析跟上面的类似。
我们设向上取整的误差为 $e$，向下取整的误差为 $e'$，则必有：$e + e' = 1$，（因为如果向上取整的误差为0.2，那么向下取整的误差必然是0.8）
而如果 $0 <= e < 2^k / c$ 不满足，意味着必然满足: $0 <= (1 - e) < 2^k / c$，（这里 $c$ 是满足 $2^k < c < 2^(k+1)$ 的，所以 $0.5 < 2^k / c < 1$ ）
即有：$0 <= e' < 2^k / c$ ，就是说如果 $e$ 不满足（１）式，则 $e'$ 必然满足（１）式。
即使最极端的情况下，$e = 0.5$ 的时候，因为 $0.5 < 2^k / c < 1$，所以 $e = e' = 0.5$ 必然是满足（１）式的。
结论
实践
知道了原理，那么我们来实际演算一下 /10 的优化，除数 c = 10, 优先找一个数 k，满足 2^k < c < 2^(k+1)，那么 k 为 3，因为 2^3 < 10 < 2^(3+1)，我们设要求的相乘的系数为 m, 那么另 m = [2^(32+k) / c]，这里用向上取整，即 m = [2^(32+3) / 10] = [3435973836.8] = 3435973837，即十六进制表示法的 0xCCCCCCCD，最大误差为 e = 0.2 (因为我们放大了(3435973837 －3435973836.8) = 0.2)，我们看是否满足（1）式，代入：0 < 0.2 < 2^3 / 10，即 0 < 0.2 < 0.8，成立，所以相乘系数 0xCCCCCCCD 是成立的，且向右位移的位数为 k = 3 位，跟文章前面所演示的一致。
我们再看看编译器对其他 c 值的优化系数，我们可以得知 /100 的相乘系数为：0x51EB851F, 右移5位，/3 的相乘系数为：0xAAAAAAAB, 右移1位，/5 的相乘系数为：0xCCCCCCCD, 右移2位，其实它就等价于 /10，只是位移少1位，或者说 /10 其实是等价于 /5 的，只是位移量不同而已。/1000 的相乘系数为：0x10624DD3, 右移6位，/125 的相乘系数为：0x10624DD3, 右移3位。
我们发现，其实对于除数 c ，如果 c 能够被 $2^N$ 整除，可以先把 $c$ 化为 $c = 2^N * c'$，再对 c' 做上面的优化处理，然后再在右移的位数再加上 N 位右移即可，不过其实不做这一步也是可以的，但是这样做有利于缩小相乘系数的范围。
32位有符号整型的优化
非常类似于32位无符号整型的除法优化，依然以 / 10 为例，优化的结果为：
我们可以看到，优化的过程为，乘以一个32位整型 0x66666667，（高位）算术右位移 2 位，再把高位逻辑右移31位（实际是取得高位的符号位），再在原EDX的基础上再加上这个值（这个值当被除数为负数时为1，被除数为正数时为0）。当被除数 a 为正数时，我们很容易理解，推理也如同上面的32位无符号整型一模一样，0x66666667 这个数的取值是由32位有符号整型的正数范围是 0 ~ 2^31-1 决定的，推演过程类似32位无符号整型。
当被除数 a 为负数时，情况略微复杂。首先，我们来看看整数取整是怎么定义的，当 a >= 0 时, | a | 为小于或等于 a 的最小整数，当 a < 0 时, | a | 为大于或等于 a 的最小整数。那么对于负数，例如：|-0.5| = 大于或等于-0.5的最小整数，即 |-0.5| = 0，依此可得：|-1.5| = -1.0，|-11.3| = -11.0。
我们再以 /10 为例，如果 $a = -5$，则 $a / 10 = -5 / 10 = q + r = (-1.0) + 0.5$，而$|a / 10| = |-5/10| = |-0.5| = 0.0$，如果 $a = -15$，则 $a / 10 = -15 / 10 = q + r = (-2.0) + 0.5$，而 $|-15/10| = |-1.5| = -1.0$，我们看到，为了保证余数 $r$ 的范围在 $0 <= r < 1.0$，根据前面提到的负整数取整的定义，这里 $|a/10|$ 取整的值是比 $q$ 的值大 1 的。而 $q$ 的值正好我们在32位无符号整型所得的结果，我们要计算的是 $|a/10|$，所以只需要在 $q$ 值的结果上再加 1 即可。所以有了上面把EDX的符号位右移31位，再跟原EDX值累加的过程，最终累加的结果即为最后所求的 $|a/10|$ 值。
结论：当除数是常数时，除非你要计算的数值必须强制使用32位有符号整型，否则尽量使用32位无符号整型，因为32位有符号整型的常量除法会比无符号整型多两条指令，一条位移，一条ADD（加法）指令。
结束语
经过上面的推演，我们已经掌握了优化时用来相乘的系数以及位移（右移）的位数，可是为什么有的编译器把32位无符号整型的常量除法 /10 也优化成：Value / 10 ~= [ [ (Value * 0x66666667) / 2^32 ] / 2^2 ]，这个道理很简单，只要能够满足被除数 a 在 0 ~ 2^32-1 范围内的误差都不大于 1/c 的话，不管你相乘的数是多少，最终的结果都是成立的。
/ 常数 和 % 常数 是等价的：其实这个优化常用于 itoa() 函数里，其实大多数情况下，都不会以 /10, /5, /3 的形式出现，多数是跟 % 10, % 5, % 3 一起出现的，如果同时做 /10, % 10 的运算，这两个运算是可以合并为一次的常数除法优化的，因为 % 10 只不过是 / 10 的求余过程，而得到了 /10，则 % 10 只是一个计算 $r = a - c * q$ 的过程，多一条乘法和一条减法指令而已。而Windows的 itoa() 函数是需要指定 radix(基) 的，10进制必须指定 radix = 10, 因为 radix 是一个变量，因此其内部使用的是 div 指令，这是一个很糟糕的函数。
还有很多的技巧，比如：sprintf()的实现代码里，一般都会通过一个变量 base 的改变来实现一个数转换为8进制，10进制或16进制，即令 base = 8; base = 10; base = 16; 但是编译器在处理 base = 8, 16 的时候是可以优化为位移的，但很奇怪的是，当 base = 10 的时候使用的却是 div 指令，这个特点在 Visual Studio 各个版本里都是如此，包括最新的 VS 2013, 2014，效率是打折扣的。GCC 和 clang 上我未求证，我猜 clang 上有可能能正确优化（当然可能是有前提条件的），有空可以研究一下。但是其实这个问题是可以通过修改代码来解决的，我们对每个部分的base都用常量来代替就可以了，这样就不依赖于编译器优化，因为都指定为常量了，编译器就明白怎么做了，没有歧义。
Jimi
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参考文献
[讨论] B计划之大数乘以10，除以10的快速算法的讨论和实现 by liangbch
http://bbs.emath.ac.cn/thread-521-3-1.html
[CSDN论坛]利用移位指令来实现一个数除以10
http://bbs.csdn.net/topics/320096074
更新记录
2014/12/29：
根据网友 BillGan 的建议，修改了误差分析的过程，衔接性更好更容易理解。
2014/12/30：
修正被除数和除数称呼弄反的问题，特别感谢网友 Antineutrino 。
2014/12/31:
修正了推演步骤图片里"令"写成"另"的问题.
增加了“最终结论”的表述，这样便于了解怎么计算相乘系数 $m$ 和位移位数 $k$。
.< End >.