算法-05 | 二分查找

1. 概述

二分查找（Binary Search）算法，也叫折半查找算法。

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

假设有 1000 条订单数据，已经按照订单金额从小到大排序，每个订单金额都不同，并且最小单位是元。现在想知道是否存在金额等于 19 元的订单。如果存在，则返回订单数据，如果不存在则返回 null。

利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。下图中，low 和 high 表示待查找区间的下标，mid 表示待查找区间的中间元素下标。

二分查找的时间复杂度：

假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

被查找区间的大小变化：

　　n, n/2, n/4, n/8, ...,n/2^k...

这是一个等比数列。其中 n/2^k = 1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2^k = 1，

可以求得 k=log₂n，所以时间复杂度就是 O(logn)。这是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。

用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。

反过来，对数对应的就是指数。一个非常著名的“阿基米德与国王下棋的故事”。 指数时间复杂度的算法在大规模数据面前是无效的。

2. 二分查找的递归与非递归实现

    /**
     * 1.循环退出条件是 low <= high，而不是 low < high。
     * 2.mid = (low + high) / 2这种写法，在 low 和 high 比较大时，两者之和可能会溢出。
     *    改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low + (high - low) / 2， 转化成位运算 low+((high-low)>>1) 更佳。
     * 3.low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。
     *    比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3] 不等于 value，就会导致一直循环不退出。
     * 时间复杂度为 O(logn)
     * @param arr
     * @param n
     * @param value
     * @return
     */
    public int bsearch(int[] arr, int n, int value) {
        int low = 0;
        int high = n - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + (high - low) / 2;   // (low + high) / 2, 可能会发生溢出
            if (arr[mid] > value ) {            // 中间值 > 目标值, 往左边找, mid - 1
                high = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < value) {      // 中间值 < 目标值, 往右边找, mid + 1
                low = mid + 1;
            } else {                            // 中间值 == 目标值
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 2. 二分查找的递归实现
     * @param arr
     * @param n
     * @param value
     * @return
     */
    public int bsearch_recurse(int[] arr, int n, int value) {
        return recursive(arr, 0, n - 1, value);
    }
    private int recursive(int[] arr, int low, int high, int value) {
        if (low > high) return -1;
        int mid = low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] > value) {
            return recursive(arr, low, mid - 1, value);
        } else if (arr[mid] < value) {
            return recursive(arr, mid + 1, high, value);
        } else {
            return mid;
        }
    }

3. 二分查找应用场景的局限性

首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。

    那二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。

如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高， 选择用数组而不是链表来实现二分查找了。
假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异): 
第一次查找中间点，需要移动指针n/2次；
第二次，需要移动指针n/4次；
第三次需要移动指针n/8次；
......
以此类推，一直到1次为值
总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + ...+ 1，这显然是个等比数列，根据等比数列求和公式：Sum = n - 1. 
最后算法时间复杂度是：O(n-1)，忽略常数，记为O(n)，时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同
但是稍微思考下，在二分查找的时候，由于要进行多余的运算，严格来说，会比顺序查找时间慢

其次，二分查找针对的是有序数据。

    二分查找对这一点的要求比较苛刻，数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序。排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。

但是，如果数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。

所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中即静态数据。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。那针对动态数据集合，如何在其中快速查找某个数据呢？二叉树

再次，数据量太小不适合二分查找。

    如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

最后，数据量太大也不适合二分查找。

      二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。

注意这里的“连续”二字，也就是说，即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。

4. 应用

假设我们有 1000 万个整数数据，每个数据占 8 个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这 1000 万数据中？ 我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过 100MB，你会怎么做呢？

如何在 1000 万个整数中快速查找某个整数？

我们的内存限制是 100MB，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB，符合内存的限制。可以先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据了。

你可能会觉得，用散列表和二叉树也可以解决这个问题。实际上是不行的。

虽然大部分情况下，用二分查找可以解决的问题，用散列表、二叉树都可以解决。但是，不管是散列表还是二叉树，都会需要比较多的额外的内存空间。如果用散列表或者二叉树来存储这 1000 万的数据，用 100MB 的内存肯定是存不下的。而二分查找底层依赖的是数组，除了数据本身之外，不需要额外存储其他信息，是最省内存空间的存储方式，所以刚好能在限定的内存大小下解决这个问题。

1000w 个 8字节整数的中查找某个整数是否存在，且内存占用不超过100M ？ 
1、由于内存限制，存储一个整数需要8字节，也就是 64 bit。此时是否可以考虑bitmap这样的数据结构，也就是每个整数就是一个索引下标，
    对于每一个索引bit，1 表示存在，0 表示不存在。同时考虑到整数的数据范围，8字节整数的范围太大，这是需要考虑压缩的问题，
    压缩方案可以参考 RoaringBitmap 的压缩方式。
2、我们要解决的问题，也就是判断某个元素是否属于某个集合的问题。这里是否可以和出题方探讨是否严格要求100%判断正确。
    在允许很小误差概率的情景下（比如判断是否在垃圾邮件地址黑名单中），可以考虑 BloomFilter 。
BloomFilter 存储空间更加高效。1000w数据、0.1%的误差下需要的内存仅为 17.14M 
时间复杂度上，上面两种都是 hashmap的变种，因此为 O(1)。


1000万数中快速查找某个整数，考虑用数组下标来存储数据，一个bit位来存储标记。
第一次排序的时候能得到这组数的最大值和最小值。 
假如最小是5，最大是2000万。那我们定义一个字节数组Byte arr[2000万]，因为我只需要打标记，
所以一个bit能存下标记，一个byte能存8个数。只需要2MB多一点就能存2000万个数的状态（存在还是不存在）
先把这1000万个数存进去，用数x/8得到下标。用数x%8得到余数，因为每8个数一组得到的数组下标相同，所以还需要通过余数来确定具体是哪一个数。
之后开始设置状态，从低位到高位，每一位代表一个数的状态，case0到7，每一次设置当下号码的状态时，先用按位于计算把其他不相关位置为1，当前位置为0，然后按位或对当前位置设置状态。
存在就设置位1 ，不存在就设置位0
上述操作执行完之后，就支持任意查找了。只需要输入一个数x，我就能立刻通过x/8和x%8得到当前这个数的位置，然后把这个位置的状态位数字取出来。如果是1表示存在，如果是0表示不存在。

在庞大的地址库中逐一比对 IP 地址所在的区间，是非常耗时的。假设我们有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个 IP 地址的归属地呢？

当我们想要查询 202.102.133.13 这个 IP 地址的归属地时，我们就在地址库中搜索，发现这个 IP 地址落在 [202.102.133.0, 202.102.133.255] 这个地址范围内，那我们就可以将这个 IP 地址范围对应的归属地“山东东营市”显示给用户了。

如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。

然后，这个问题就可以转化为下面的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。

当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。

IP地址归属地问题，从工程实现的角度考虑，我更偏向于直接使用关系型数据库实现。也就是将12w条归属地与IP区间的开始、结束存入数据库中。
数据库表ip_table有如下字段：area_name | start_ip | end_ip ，start_ip及end_ip 均建立索引
SQL语句：
　　select area_name from ip_table where input_ip >= start_ip and input_ip <= end_ip;

数据库可以 但其单性能会受限

5. 二分查找的变形

二分查找中最简单的一种情况是 在不存在重复元素的有序数组中，查找值等于给定值的元素。

变体一：查找第一个值等于给定值的元素

    /**
     * 变体一: 查找第一个值等于给定值的元素
     * @param arr
     * @param n
     * @param value
     * @return
     */
    public int bsearch1(int arr[], int n, int value) {
        int low = 0;
        int high = n - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] > value) {
                high = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < value) {
                low = mid + 1;
            } else {
                if ((mid == 0) || (arr[mid - 1] != value)) return mid;
                else high = mid -1;// 如果 arr[mid - 1] == value, 说明mid不是第一个下标值, 继续往左 查找
            }
        }
        return -1;
    }

变体二：查找最后一个值等于给定值的元素

    /**
     * 变体二：查找最后一个值等于给定值的元素
     * @param arr
     * @param n
     * @param value
     * @return
     */
    public int bsearch2(int arr[], int n, int value) {
        int low = 0;
        int high = n - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] > value) {
                high = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < value) {
                low = mid + 1;
            } else {
                if ((mid == n - 1) || (arr[mid + 1] != value)) return mid;
                else low = mid + 1; // 如果 arr[mid + 1] == value, 说明mid不是最后一个下标值, 继续往右 查找
            }
        }
        return -1;
    }

变体三：查找第一个大于等于给定值的元素

    /**
     * 变体三：查找第一个大于等于给定值的元素
     * @param arr
     * @param n
     * @param value
     * @return
     */
    public int bsearch3(int arr[], int n, int value) {
        int low = 0;
        int high = n - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] >= value) {
                if ((mid == 0) || (arr[mid - 1] < value)) return mid;
                else high = mid - 1;
            } else {
                low = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
    }

变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素

    /**
     * 变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素
     * @param arr
     * @param n
     * @param value
     * @return
     */
    public int bsearch4(int[] arr, int n, int value) {
        int low = 0;
        int high = n - 1;
        while (low <= high) {
            int mid = low + ((high - low) >> 1);
            if (arr[mid] > value) {
                high = mid - 1;
            } else {
                if ((mid == n - 1) || (arr[mid + 1] > value)) return mid;
                else low = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
    }