3969 [Mz]平方和【斐波那契平方和】

3969 [Mz]平方和

 

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 题目等级 : 大师 Master

题解

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题目描述 Description

斐波那契数列：f[0]=0,f[1]=1,f[i]=f[i-1]+f[i-2](i>1)

求f[1]*f[1]+f[2]*f[2]+...+f[n]*f[n]的值

 

输入描述 Input Description

仅一行，一个正整数n

输出描述 Output Description

仅一行一个数，即所求的值，由于结果可能很大，需对1,000,000,007取模

样例输入 Sample Input

3

样例输出 Sample Output

6

数据范围及提示 Data Size & Hint

对于100‰的数据，n<=1,000,000=10^6

然而：

对于200‰的数据，n<=9,000,000,000,000,000,000=9*10^18

对于500‰的数据，n<=10^500

对于1000‰的数据，n<=10^50000

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引理1：

　　平方求和

　　

 

关于模数，Seavot__提供。

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;ll n;
const ll mod=1000000007;
char s[50000];
struct matrix{ll s[2][2];}A,F;
ll mul(ll a,ll b){
    ll res=0;
    for(;b;b>>=1,a=(a+a)%mod) if(b&1) res=(res+a)%mod;
    return res;
}
matrix operator *(const matrix &a,const matrix &b){
    matrix c;
    for(int i=0;i<2;i++){
        for(int j=0;j<2;j++){
            c.s[i][j]=0;
            for(int k=0;k<2;k++){
                c.s[i][j]+=mul(a.s[i][k],b.s[k][j]);
                c.s[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
matrix fpow(matrix a,ll p){
    matrix ans;
    for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) ans.s[i][j]=(i==j);
    for(;p;p>>=1,a=a*a) if(p&1) ans=ans*a;
    return ans;
}
void deal(){
    for(int i=0;s[i];i++){
        n=(n*10+s[i]-'0')%(mod+1);
    }
}
int main(){
    scanf("%s",s);deal();
    A.s[0][0]=A.s[0][1]=A.s[1][0]=1;A.s[1][1]=0;
    F.s[0][0]=1;F.s[0][1]=F.s[1][0]=F.s[1][1]=0;
    F=fpow(A,n)*F;
    ll ans=F.s[0][0]*F.s[1][0]%mod;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

 

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