91. 解码方法

题目描述

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下方式进行了编码：

'A' -> 1
'B' -> 2
...
'Z' -> 26

给定一个只包含数字的非空字符串，请计算解码方法的总数。

示例 1:

输入: "12"
输出: 2
解释: 它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12)。

示例 2:

输入: "226"
输出: 3
解释: 它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6)。

题意

输入的数字是字符串，也就是说输入可能会包含0～9，但是编码方式并没有给出0的单独编码，所以当输入的字符串包含0的时候，需要作特殊的考虑。

当输入字符串没有0时

从简单入手，也就是没有0混在输入字符串中的时候，带0的稍后考虑。

动态规划的问题往往需要一步步推演，才能较快的找到前后关系，下面以"1221"输入为例，开始推演：

• “1” ：返回1，解码方式只有“A”
• “12” ：返回2，解码方式有“AB”（1 2），“L”（12）
• “122” ：返回3，解码方式有“ABB”（1 2 2），“LB”（12 2），“AV”（1 22）
• “1221” ：返回5，解码方式有“ABBA”（1 2 2 1），“LBA”（12，2，1），“AVA”（1，22，1），“ABU”（1，2，21），“LU”（12，21）

当时我自己做的时候，想到的输入是"12213"，推过之后才发现了规律，可能比较笨。。。

光看前2个输入可能看不出什么。

• 看输入为“122”的时候，比原先的输入“12”新增加了一个‘2’，看看增加后相对于原来“12”的输入，解码方式的总数是怎么发生改变的。

  增加了‘2’之后，从原先的2种方式变到3种方式。

  前两种方式“ABB”（1 2 2），“LB”（12 2）都是在原本“AB”（1 2），“L”（12）的基础上增加了一个解码'2'得到大写字母‘B'，并没有增加解码方法。促使增加的原因是新增的'2'能与前一个位置的’2‘合并成'22'，即解码成字母'V'，因此多了新的一种解码方式“AV”。

  这样看来，后一个位置上的解码总数确实与之前位置的解码总数有一定的关系，现在还不能明确的说到底是如何。

• 看第4组，在"122"的基础上增加了‘1’。

  • 以之前的思路考虑，“122”原本的解码方式为“ABB”（1 2 2），“LB”（12 2），“AV”（1 22），新增了'1'，如果不与前面位置的'2'合并的话，那么不增加解码总数，仍旧为3，解码方式变为“ABBA”（1 2 2 1），“LBA”（12，2，1），“AVA”（1，22，1）；

  • 如果与前面位置的'2'绑定的话变成'21'，解码为‘U’，现在后两个数已经绑定了，也就是问输入“12（21）”有几种方式，因为解码的方式只可能是数字两位数[1-26]，所以‘21’不可能与前面位置的‘2’绑定，这么看来，“12（21）”的解码总数与“12”的解码总数无异。

  而“12”的解码总数之前是有记录过的，“AB”（1 2），“L”（12），加上‘U'后变为“ABU”（1，2，21），“LU”（12，21）。

  所以看来输入为“1221” 时，解码方式有“ABBA”（1 2 2 1），“LBA”（12，2，1），“AVA”（1，22，1），“ABU”（1，2，21），“LU”（12，21），一共有5种。假设当前位置为i，那么如果位置i的数字能与位置i-1的数字合法绑定[10-26]的话。

  dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; dp[i]代表位置i的解码总数

• 说到合法绑定，假如我的输入是“1228”，显然，“28”不是合法的，不能被解码。那么解码总数应该就等于“122”的解码总数。可以自行推演一下。

现在总结字符串无0输入是的状态转移方程：

# 位置i的解码总数为dp[i]
if 位置i 与 位置i-1 能合法绑定：
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]；
else
    dp[i] = dp[i-1]

关于0

一开始我以为输入"01"是合法的，因为我觉得可以解码成'A'。后来提交后报错，我才意识到想当然了。当位置i出现'0'时，一定要考究i-1位置上的字符，下面举几个例子：

1. '10' - 输入是合法的，因为0可以和前面的1绑定在一起，得到10，解码为"J"，返回值为1
2. '100' - 输入不合法，无法解码，无论是（1 0 0）（1 00）（10 0）（100）都是不合法的，返回为0
3. '01' - 输入不合法，无法解码，这正是我之前想当然所犯的错误

有0输入情况

1. 如果0在第一个输入，由于0无法被解码，所以返回解码总数0.
2. 连续两个00出现肯定无法被解码，所以返回解码总数0
3. 当前位置i出现0，必须要与i-1位置的数绑定，绑定不成功，返回0；绑定成功，位置i的解码总数与位置i-2相同。这个推导其实在上面绿字部分出现过，可以回去看看理解下。

代码

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        // 边界条件：s为空；第一个输入为0；输入字符串长度为1
        if(s.size() == 0 || s[0] == '0')
            return 0;
        if(s.size() == 1)
            return 1;
            
        // parameters
        int len = s.size();
        int dp[len];
        dp[0] = 1;
        
        // 考虑第2个位置的解码总数的可能情况
        if(s[1] == '0' && (s[0] - '0') * 10 > 20)
            return 0;
        else if(s[1] == '0' && (s[0] - '0') * 10 <= 20)
            dp[1] = 1;
        else if(s[1] != '0' && (s[0] - '0') * 10 + s[1] - '0' > 26)
            dp[1] = 1;
        else
            dp[1] = 2;
        
        for(int i = 2; i < len; i++)
        {
            //判断的情况颇多，但是最重要的是当出现0时，它能否与前面出现的数字绑定为一个[1,26]内的合法数字，如果不能，返回0；否则，等于dp[i-2]

            //出现连续2次的0，直接返回0
            if(s[i] == '0' && s[i-1] == '0')
                return 0;

            else if(s[i] == '0' && s[i-1] != '0')
            {
                int t = (s[i-1] - '0') * 10;
                if(t > 20)                  // 不能绑定，直接返回
                    return 0;
                else                         // 可以绑定
                    dp[i] = dp[i-2];
            }
            
            else if(s[i] != '0' && s[i-1] != '0')
            {
                int t = (s[i-1] - '0') * 10 + s[i] - '0';
                if(t > 26)
                    dp[i] = dp[i-1];        // 不能绑定，等于前面位置
                else
                    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
            }
            else if(s[i] != '0' && s[i-1] == '0')
                dp[i] = dp[i-1];
        }

        return dp[len-1];
    }
};

总结

需要考虑很多的边界条件。